广东省佛山市S7高质量发展联盟2023-2024学年高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2023-11-03 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x ∣ x = 2 k + 1 ， k \in Z} ， N = {x ∣ x = k + 2 ， k \in Z}$ ，则（）

A、 $M = N$ B、 $M \subseteq N$ C、 $N \subseteq M$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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2. 已知复数 $z = 1 - i (i$ 为虚数单位 $)$ ，则 $| \frac{5}{7 - 4 z} | =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $3$ D、 $4$

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3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ $\sqrt{3}$ ， E是CD的中点，那么 $\vec{A E} \cdot \vec{D C} =$ （）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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4. 已知函数 $f (x)$ 是R上的偶函数，且满足 $f (x) = f (x + 4)$ ，当 $x \in [0 ， 2)$ 时， $y = l o g_{2} (x + 1)$ ，则 $f (2019) + f (2020) =$ （）

A、1 B、-1 C、-2 D、2

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5. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{m}$ + $\frac{y^{2}}{m + 6}$ =1的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则C的长轴长为（）

A、8 $\sqrt{2}$ B、4 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、4

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6. 曲线 $C ： x = \sqrt{- y^{2} - 2 y}$ 与直线 $l ： x - y - m = 0$ 有两个交点，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、 $- \sqrt{2} - 1 < m < 1 + \sqrt{2}$ B、 $2 \leq m < 1 + \sqrt{2}$ C、 $- 1 - \sqrt{2} < m \leq - 2$ D、 $- 2 \leq m \leq 2$

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7. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $S_{n + 1}^{2} - 3^{n} a_{n + 1} = S_{n} (S_{n} + 2 \cdot 3^{n})$ ，则 $S_{2023} =$ （）

A、 $3^{2023} - 1$ B、 $\frac{3^{2023} - 1}{2}$ C、 $\frac{3^{2023} + 1}{2}$ D、 $\frac{3^{2022} + 1}{2}$

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8. 如图，某公园有一个半径为2公里的半圆形湖面，其圆心为O ，现规划在半圆弧岸边取点C、D、E ，且 $∠ D O E = 2 ∠ A O C = 2 ∠ C O D$ ，在扇形 $A O C$ 区域内种植芦苇，在扇形 $C O D$ 区域内修建水上项目，在四边形 $O D E B$ 区域内种植荷花，并在湖面修建栈道 $D E$ 和 $E B$ 作为观光线路.当 $D E + E B$ 最大时，游客有更美好的观赏感受，则 $D E + E B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、6

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二、多选题

9. 下列结论正确的有（）

A、若随机变量 $ξ$ ， $η$ 满足 $η = 2 ξ + 1$ ，则 $D (η) = 2 D (ξ) + 1$ B、若随机变量 $ξ - N (3 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 6) = 0.84$ ，则 $P (3 < ξ < 6) = 0.34$ C、若线性相关系数 $| r |$ 越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D、按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m ， 40，50；乙组：24，n ， 33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 $m + n = 67$

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10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（）

A、若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 $4^{5}$ B、若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 $A_{5}^{4} C_{4}^{1}$ C、如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 $(C_{5}^{3} C_{2}^{1} + C_{5}^{2} C_{3}^{2}) A_{3}^{3}$ D、每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 $C_{3}^{1} C_{4}^{2} A_{3}^{3} + C_{3}^{2} A_{3}^{3}$

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11. 设函数 $f (x) = x l n x$ ， $g (x) = \frac{f^{'} (x)}{x}$ ，则下列说法正确的有（）

A、不等式 $g (x) > 0$ 的解集为 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ ； B、函数 $g (x)$ 在 $(0 ， e)$ 单调递增，在 $(e ， + \infty)$ 单调递减； C、当 $x \in [\frac{1}{e} ， 1]$ 时，总有 $f (x) < g (x)$ 恒成立； D、若函数 $F (x) = f (x) - a x^{2}$ 有两个极值点，则实数 $a \in (0 ， 1)$ .

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12. 如图甲，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $E$ 为 $A B$ 上一动点（不含端点），且满足将 $△ A E D$ 沿 $D E$ 折起后，点 $A$ 在平面 $D C B E$ 上的射影 $F$ 总在棱 $D C$ 上，如图乙，则下列说法正确的有（）

A、翻折后总有 $B C ⊥ A D$ B、当 $E B = \frac{1}{2}$ 时，翻折后异面直线 $A E$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ C、当 $E B = \frac{1}{2}$ 时，翻折后四棱锥 $A - D C B E$ 的体积为 $\frac{5 \sqrt{5}}{36}$ D、在点 $E$ 运动的过程中，点 $F$ 运动的轨迹长度为 $\frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 在二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 x})}^{9}$ 的展开式中，常数项是．

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14. 在 $△ A B C$ 中，点D是边BC上一点，且 $A B = 4$ ， $B D = 2$ . $c o s B = \frac{11}{16}$ ， $c o s C = \frac{\sqrt{6}}{4}$ ，则DC=.

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15. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $P A = A B = 2$ ， $O$ 为底面 $A B C D$ 的中心，以点 $O$ 为球心作一个半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的球，则平面 $P C D$ 截该球的截面面积为．

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四、双空题

16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点 $A ， B$ 的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2 ， 1)$ ， $B (- 2 ， 4)$ ，点 $P$ 是满足 $λ = \frac{1}{2}$ 的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点 $Q$ 为抛物线 $E ：$ $y^{2} = 4 x$ 上的动点， $Q$ 在 $y$ 轴上的射影为 $H$ ，则 $\frac{1}{2} | P B | + | P Q | + | Q H |$ 的最小值为.

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五、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ，且 $a c o s B + \frac{1}{2} b = c$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、设 $A D$ 是 $B C$ 边上的高，且 $A D = 2$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的值．

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18. 如图，四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，M是棱DD₁上的一点，AA₁⊥平面ABCD ， AB∥DC ， AB⊥AD ， AA₁＝AB＝2AD＝2DC.

(1)、若M是DD₁的中点，证明：平面AMB⊥平面A₁MB₁；

(2)、设四棱锥M-ABB₁A₁与四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积分别为V₁与V₂ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值．

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19. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{2} + a_{3} = a_{4} ， S_{4} + 2 = a_{5}$ ；数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1 ， \frac{1}{b_{1}} + \frac{2}{b_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{n}{b_{n}} = \frac{n^{2}}{b_{n}} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ；

(2)、求数列 ${\frac{1}{(b_{n} + 2) l o g_{2} a_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮.某省某校为了了解高二年级全部1000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.

(1)、根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

(2)、若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布 $N (μ ， 169)$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；（取整数）

(3)、现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”.该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分.若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{5}{7}$ ， $\frac{1}{2}$ ，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的.记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期 $E (ξ)$ .
（参考数据：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9974$ .

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21. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $P (4 ， y_{0})$ 为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5．

(1)、求E的标准方程；

(2)、设O为坐标原点，F为E的焦点，A ， B为E上异于P的两点，且直线 $P A$ 与 $P B$ 斜率乘积为 $- 4$ ．
（i）证明：直线 $A B$ 过定点；
（ii）求 $| F A | \cdot | F B |$ 的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 a l n x - (a + 2) x ， a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值．

(2)、是否存在实数 $a$ ，对任意的 $m ， n \in (0 ， + \infty)$ ，且 $m \neq n$ ，有 $\frac{f (m) - f (n)}{m - n} > - a$ 恒成立？若存在，求出 $a$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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