广东省广州市天河区2023-2024学年高三上学期数学综合测试（一）试卷

试卷更新日期：2023-11-03 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 > 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、（1，3） C、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (3 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z i = 1 + 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、5

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3. 已知 $\overset{⇀}{A B}$ =(2，3)， $\overset{⇀}{A C}$ =(3，t)， $| \overset{⇀}{B C} |$ =1，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C}$ =（）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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4. 已知椭圆 $E$ 的方程为 $\sqrt{x^{2} + (y - 2)^{2}} + \sqrt{x^{2} + (y + 2)^{2}} = 8$ ，则椭圆 $E$ （）

A、长轴长为16 B、短轴长为 $4 \sqrt{3}$ C、焦距为2 D、焦点为 $(- 2 ， 0) ， (2 ， 0)$

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5. 已知曲线 $y = x^{3} + 2 a x^{2} + x + b$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、-2 D、 $- \frac{11}{4}$

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6. 已知动点 $P$ 在直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 上，过点 $P$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的一条切线，切点为 $A$ ，则 $| P A |$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 1 ， n 为奇数 \\ a_{n} + 3 ， n 为偶数 \end{array}$ ，记 $b_{n} = a_{2 n - 1}$ ，则（）

A、 $b_{1} = 3$ B、 $b_{2} = 8$ C、 $b_{n + 1} - b_{n} = 4$ D、 $b_{n} = 4 n + 2$

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8. 若 $t a n (2 α - \frac{π}{3}) = \frac{s i n β - c o s β}{s i n β + c o s β}$ ，则 $1 - 2 c o s^{2} (2 α - β) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

9. 已知实数 $x ， y$ ，则“ $x > y$ ”的充要条件是（）

A、 $e^{x} > e^{y}$ B、 $l n x > l n y$ C、 $x^{\frac{1}{3}} > y^{\frac{1}{3}}$ D、 $s i n x > s i n y$

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10. 下列命题正确的是（）

A、若样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{6}$ 的方差为2，则数据 $2 x_{1} - 1 ， 2 x_{2} - 1 ， ⋯ ， 2 x_{6} - 1$ 的方差为8 B、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 $z = l n y$ ，求得线性回归方程为 $\hat{z} = 4 x + 0.3$ ，则 $c ， k$ 的值分别是 $e^{0.3}$ 和4 C、若某校高三（1）班8位同学身高（单位 $c m$ ）分别为： $170 ， 168 ， 172 ， 173 ， 174 ， 175 ， 173 ， 178$ ，则这组数据的上四分位数（即第75百分位数）为174 D、根据变量 $X$ 与 $Y$ 的样本数据计算得到 $χ^{2} = 3.418$ ，根据 $α = 0.05$ 的独立性检验 $(x_{0.05} = 3.841)$ ，可判断 $X$ 与 $Y$ 有关，且犯错误的概率不超过0.05

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11. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 对任意实数 $x ， y$ 都有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = 0 ， f (0) \neq 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (- x) = f (x)$ C、 $f (1 - x) + f (x) = 0$ D、 $f (x + 1) = f (x)$

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12. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列命题正确的是（）

A、平面 $A C B_{1}$ $∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ ，且两平面的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、当点 $P$ 在线段 $A B$ 上运动时，四面体 $P - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积恒等于四面体 $B_{1} - A_{1} C_{1} D$ 的体积 C、与正方体所有棱都相切的球的体积为 $\frac{\sqrt{2} π}{3}$ D、若 $M$ 是正方体的内切球的球面上任意一点， $N$ 是 $△ A C B_{1}$ 外接圆的圆周上任意一点，则 $| M N |$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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三、填空题

13. 某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法共有种．

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14. 已知圆锥的表面积为 $12 π$ ，其侧面展开图是一个半圆．则圆锥的高为．

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15. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， π)$ 恰有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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16. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右支上有一点 $M$ ，满足 $∠ F_{1} M F_{2} = 90 °$ ， $△ F_{1} M F_{2}$ 的内切圆与 $y$ 轴相切，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{4} = 14 ， S_{5} = 45$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} ， T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明： $T_{n} < \frac{1}{4}$ ．

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五、证明题

18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $D A ⊥$ 平面 $P A B$ ， E是 $D A$ 的中点．

(1)、若 $P B$ 的中点是M，求证： $E M / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $P A ⊥ P B ， P A = A D = 2 ， A B = 2 \sqrt{2}$ ，求平面 $P C E$ 与平面 $P A B$ 所成二面角的正弦值．

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六、解答题

19. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角， $\sin B - \cos C = \frac{c^{2} - a^{2}}{2 a b}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $b = \frac{\sqrt{3}}{4} c$ ，且 $B C$ 边上的高为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - a (x + l n x) ， a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有最小值 $g (a)$ ，证明： $g (a) \leq - \frac{1}{2} a^{2} + 1$ ．

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21. 某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是 $\frac{1}{2}$ ，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是 $\frac{1}{2}$ ，若上一次失败则下一次成功的概率是 $\frac{2}{3}$ ．记消费者甲第 $n$ 次获胜的概率为 $p_{n}$ ，数列 ${p_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $\sum_{i = 1}^{n} p_{n} = T_{n}$ ，且 $T_{n}$ 的实际意义为前 $n$ 次游戏中平均获胜的次数．

(1)、求消费者甲第2次获胜的概率 $p_{2}$ ；

(2)、证明： ${p_{n} - \frac{4}{7}}$ 为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．

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22. 已知x轴被动圆C截得的弦长为6，动圆C过定点 $A (0 ， 3)$ ．

(1)、求动圆圆心C的轨迹E的方程；

(2)、点M是曲线E上的动点，其纵坐标大于2，过点M作圆 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 的两条切线分别与x轴交于点P ， Q ，求 $△ M P Q$ 面积最小时点M的纵坐标．

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