广西三新学术联盟2023-2024学年高二上学期数学10月联考试卷-在线组卷题库

1. 已知 $A = {x ∣ - 2 < x < 3}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{1 - 3 i}{1 + i}$ ，则 $z$ 等于（）

A、 $1 - 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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3. 关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角是钝角 B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b} ， \vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b} ， \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ D、空间中任何两个向量都是共面向量

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4. 直线 $l_{1} ： x + (m - 1) y + 2 m - 5 = 0$ 与直线 $l_{2} ： m x + (m + 3) y + 3 = 0$ ，则 $l_{1} / / l_{2}$ 的充要条件是 $m =$ （）

A、3 B、 $- 1$ C、3或 $- 1$ D、1或 $- 3$

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5. 已知 $m$ ， $n$ 是不同的直线， $α$ ， $β$ 是不同的平面，下列命题中，正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，则 $m ⊥ n$

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6. 已知 $△ A B C$ 三边所在直线方程为 $A B ： 3 x + 4 y + 12 = 0$ ， $B C ： 4 x - 3 y + 16 = 0$ ， $C A ： 2 x + y - 2 = 0$ ，则 $A C$ 边上的高所在直线的方程是（）

A、 $x - 2 y + 4 = 0$ B、 $x - 7 y + 4 = 0$ C、 $4 x - 3 y - 9 = 0$ D、 $7 x + y + 28 = 0$

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7. 棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是 $B C_{1}$ 中点，则异面直线 $P D$ 与 $A_{1} B$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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8. 几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点 $M ， N$ 是锐角 $∠ A Q B$ 的一边 $Q A$ 上的两点，试着在边 $Q B$ 上找一点 $P$ ，使得 $∠ M P N$ 最大”.如图，其结论是：点 $P$ 为过 $M ， N$ 两点且和射线 $Q B$ 相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，给定两点 $M (- 1 ， 2) ， N (1 ， 4)$ ，点 $P$ 在 $x$ 轴上移动，当 $∠ M P N$ 取得最大值时，该圆的方程是（）

A、 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 2$ B、 $(x + 7)^{2} + (y - 10)^{2} = 100$ C、 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ D、 $(x + 7)^{2} + (y - 10)^{2} = 10$

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9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C ： (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ ，直线 $l ： y = k x + 8$ 与圆 $C$ 相切于点 $T$ ，直线 $l$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A ､ B$ .下列说法正确的是（）

A、 $k = - \frac{4}{3}$ B、 $S_{△ O A B} = 24$ C、 $| A T | = 4$ D、若 $P$ 是圆 $C$ 上的动点，则 $| P A |$ 的最大值是 $2 \sqrt{5} - 2$

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10. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 $60 °$ ， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列正确的是（）

A、 $\vec{C M} = - \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{B D_{1}} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $A C_{1}$ 的长为 $\sqrt{5}$ D、 $c o s ⟨ \vec{A D} ， \vec{B D_{1}} ⟩ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $P B = \sqrt{6}$ ，侧面 $P A D$ 为正三角形，则下列说法正确的是（）

A、 $A D ⊥ P B$ B、平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ C、二面角 $P - B C - A$ 的平面角是 $∠ P B A$ D、三棱锥 $P - A B D$ 外接球的表面积为 $\frac{20}{3} π$

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12. 已知 $⊙ Q ： (x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ 与 $l ： y = - x$ 交于 $A ､ B$ 两点， $M$ 为曲线 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 上的动点，则（）

A、 $M$ 到直线 $l$ 距离最小值为 $\sqrt{2}$ B、 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} > 0$ C、存在点 $M$ ，使得 $△ M A B$ 为等边三角形 D、 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 最小值为2

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13. 直线 $l$ 过点 $P (- 2 ， 3)$ 且与 $x$ 轴､ $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $P$ 恰为线段 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的方程为.

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14. 已知 $\vec{a}$ ､ $\vec{b}$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，若 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $| \vec{c} |$ 的最大值为.

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15. 在平面直角坐标系中，已知 $A (2 ， - 1) ， B (1 ， 5)$ ，点 $M$ 是直线 $l ： y = x$ 上一动点，则 $| M B | - | M A |$ 的最大值为.

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16. 已知圆 $C ： (x - a)^{2} + (y - a + 1)^{2} = 3$ ，点 $A (- 2 ， 0)$ ，若圆 $C$ 上任意一点 $P$ 都满足 $| P A |^{2} + | P O |^{2} > 8$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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17. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 3$ ，直线 $l$ 过点 $A (- 2 ， 0)$ .

(1)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相切时，求直线 $l$ 的斜率；

(2)、线段 $A B$ 的端点 $B$ 在圆 $C$ 上运动，求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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18. 在 $△ A B C$ 中，已知角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $c o s 2 A + c o s A = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，且 $a = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A D$ ， $M$ 是 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $M A C$ ；

(2)、若正四棱柱的外接球的表面积是 $24 π$ ，求三棱锥 $D_{1} - M A C$ 的体积.

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20. 甲、乙两位同学进行跳绳比赛，比赛规则如下：进行两轮跳绳比赛，每人每轮比赛在规定时间内跳绳200次及以上得1分，跳绳不够200次得0分，两轮结束总得分高的为跳绳王，得分相同则进行加赛直至有一方胜出为止.根据以往成绩分析，已知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙在规定时间内跳绳200次及以上的概率为 $\frac{2}{5}$ ，且每轮比赛中甲、乙两人跳绳的成绩互不影响.

(1)、求两轮比赛结束乙得分为1分的概率；

(2)、求不进行加赛甲就获得跳绳王的概率.

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21. 如图，已知直圆柱的上、下底面圆心分别为 $P ， Q$ ， $A A_{1} C_{1} C$ 是圆柱的轴截面，正方形 $A B C D$ 内接于下底面圆 $Q$ ，点 $E$ 是 $B C$ 中点， $A B = 6 \sqrt{2} ， A A_{1} = 6$ .

(1)、求证：平面 $P Q E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若点 $M$ 为线段 $P Q$ 上的动点，求直线 $B M$ 与平面 $P B C$ 所成角的余弦值的最小值.

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22. 已知圆 $C ： x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 ， A (a ， b)$ 为圆 $C$ 上一点.

(1)、求 $\frac{b + 2}{a}$ 的取值范围；

(2)、圆 $D ： x^{2} + (y + 1)^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的圆心为 $D$ ，与圆 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点， $H$ 为圆 $C$ 上相异于 $M$ 、 $N$ 的点，直线 $H M ， H N$ 分别与 $y$ 轴交于点 $P$ 、 $Q$ ，求 $S_{△ C H P} \cdot S_{△ C H Q}$ 的最大值.

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广西三新学术联盟2023-2024学年高二上学期数学10月联考试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

五、证明题

六、应用题

七、证明题

八、解答题