吉林省部分名校2023-2024学年高二上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2023-11-03 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $l$ 经过两点 $(4 ， - 2) ， (- 3 ， 4)$ ，则 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{6}{7}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $- \frac{7}{6}$ D、 $\frac{7}{6}$

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2. 直线 $x - 2 y - 2 = 0$ 在 $x$ 轴上的截距为 $a$ ，在 $y$ 轴上的截距为 $b$ ，则（）

A、 $a = 2$ ， $b = 1$ B、 $a = 2$ ， $b = - 1$ C、 $a = - 2$ ， $b = 1$ D、 $a = - 2$ ， $b = - 1$

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3. 若 $M (1 ， 0 ， 1)$ ， $N (2 ， m ， 3)$ ， $P (2 ， 2 ， n + 1)$ 三点共线，则 $m + n =$ （）

A、4 B、 $- 2$ C、1 D、0

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4. 若直线 $l$ 的斜率 $k \in (- 1 ， \sqrt{3})$ ，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{3} ， \frac{3 π}{4})$ B、 $[0 ， \frac{π}{3}) \cup (\frac{3 π}{4} ， π)$ C、 $(\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3})$ D、 $[0 ， \frac{π}{6}) \cup (\frac{3 π}{4} ， π)$

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5. 若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为 $15 °$ ，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（）

A、0 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6. 直线 $l$ 过点 $(5 ， 4)$ ，且方向向量为 $(1 ， 2)$ ，则（）

A、直线 $l$ 的点斜式方程为 $y - 5 = 2 (x - 4)$ B、直线 $l$ 的斜截式方程为 $x = \frac{1}{2} y + 3$ C、直线 $l$ 的截距式方程为 $\frac{x}{6} - \frac{y}{3} = 1$ D、直线 $l$ 的一般式方程为 $2 x - y - 6 = 0$

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7. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ．点 $A_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1$ ， $D D_{2} = 2$ ， $C C_{2} = 3$ ，则点 $D$ 到平面 $A_{2} C_{2} D_{2}$ 的距离为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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8. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2 A D = 4$ ， $P D = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ， $E$ 是 $P A$ 的中点， $\vec{F B} = 2 \vec{P F}$ ．若点 $M$ 在矩形 $A B C D$ 内，且 $P M ⊥$ 平面 $D E F$ ，则 $D M =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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二、多选题

9. 已知直线l： $(a + 2) x + a y - 2 = 0$ 与n： $(a - 2) x + 3 y - 6 = 0$ ，下列选项正确的是（）

A、若 $l / / n$ ，则 $a = 6$ 或 $a = - 1$ B、若 $l ⊥ n$ ，则 $a = 1$ C、直线l恒过点 $(1 ， - 1)$ D、若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 $y = \frac{1}{3} x - 2$

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10. 直线 $l$ 经过点 $(3 ， - 2)$ ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线 $l$ 的方程可能是（）

A、 $3 x + 2 y = 0$ B、 $2 x + 3 y = 0$ C、 $x - y - 5 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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11. 已知点 $P (3 ， 4) ， Q (5 ， 2)$ ，直线 $l ： a x - y - 2 a + 2 = 0 (a \in R)$ ，则下列说法中正确的有（）

A、直线 $l$ 恒过点 $(1 ， 2)$ B、若直线 $l$ 与线段 $P Q$ 有交点，则 $a \in [0 ， 2]$ C、点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最大值为 $\sqrt{5}$ D、若 $a = - 1 ， M$ 为直线 $l$ 上一点，则 $| P M | + | Q M |$ 的最小值为 $\sqrt{26}$

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12. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若 $A B = 2$ ，则给出的说法中正确的是（）

A、该几何体的表面积为 $18 \sqrt{3}$ B、该几何体的体积为4 C、二面角 $B - E F - H$ 的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ D、若点P ， Q在线段BM ， CH上移动，则PQ的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

13. 平行线 $x + 2 y - 5 = 0$ 与 $2 x + 4 y - 5 = 0$ 间的距离为．

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14. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， - 2)$ ，且 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ =$ ．

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15. 如图，在圆锥 $S O$ 中， $A B$ 是底面圆O的直径，D ， E分别为 $S O$ ， $S B$ 的中点， $O C ⊥ A B$ ， $S O = A B = 4$ ，则直线 $A D$ 与直线 $C E$ 所成角的余弦值为．

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16. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 \sqrt{2}$ ， $A_{1} B_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A C ∩ B D = O$ ， $\vec{C E} = λ \vec{C C_{1}}$ ，若 $O E / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ ，则 $λ =$ ．

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四、解答题

17. 已知直线 $l_{1}$ 的斜率为2，直线 $l_{2}$ 过点 $A (3 m ， 2 m - 1)$ ， $B (2 ， m - 3)$ ．

(1)、若直线 $l_{2}$ 的倾斜角为 $45 °$ ，求m的值；

(2)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求m的值．

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18. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (2 ， 1)$ ， $B (5 ， 0)$ ， $C (1 ， 8)$ .

(1)、求点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离；

(2)、求 $B C$ 边上的高所在直线的方程.

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19. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A A_{1} = A B = 2 A D = 2 C D = 4$ ， E ， F ， G分别为棱 $D D_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求 $\vec{C G} \cdot \vec{E F}$ 的值；

(2)、证明：C ， E ， F ， G四点共面．

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20. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E ， F ， G分别是 $D D_{1}$ ， $B C$ ， $A D$ 的中点．

(1)、证明： $A E ⊥ B_{1} G$ ．

(2)、求直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $B_{1} F G$ 所成角的正弦值．

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21. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (3 ， 2)$ ，边 $A B$ 上的中线所在直线方程为 $x - 3 y + 8 = 0$ ，边 $A C$ 上的高所在直线方程为 $2 x - y - 9 = 0$ ．

(1)、求顶点 $B ， C$ 的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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22. 如图，在四面体ABCD中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 4$ ， $C D = B D = 2 \sqrt{3}$ ， $c o s ∠ A B D = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ， E ， F ， G分别为棱BC ， AD ， CD的中点，点 $H$ 在线段AB上.

(1)、若 $F H / /$ 平面AEG ，试确定点 $H$ 的位置，并说明理由；

(2)、求平面AEG与平面CDH的夹角的取值范围.

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