河北省沧州市运东七县联考2023-2024学年高一上学期数学期中试卷-在线组卷题库

1. 已知集合 $A = {x ∣ \sqrt{x + 1} < 2} ， B = {x ∣ 1 < x < 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 \leq x < 4}$ B、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 3}$ C、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 1}$ D、 ${x ∣ 1 < x < 3}$

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2. 命题“ $\forall n \in N^{*} ， f (n) \leq n$ ”的否定形式是（）

A、 $\forall n \in N^{*} ， f (n) > n$ B、 $\forall n \notin N^{*} ， f (n) > n$ C、 $\exists n \in N^{*} ， f (n) > n$ D、 $\exists n \notin N^{*} ， f (n) > n$

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3. 如图是函数 $y = f (x)$ 的图象，其定义域为 $[- 2 ， + \infty)$ ，则函数 $f (x)$ 的单调递减区间是（）

A、 $[- 1 ， 0)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 0) ， [1 ， + ∞)$ D、 $[- 1 ， 0) \cup [1 ， + ∞)$

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4. 已知p： $a > b > 0$ q： $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + \frac{a - 2}{x} + b (a ， b \in R)$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} f (x - 1) ， x > - 2 \\ x^{2} + 2 x - 3 ， x \leq - 2 \end{array}$ 则 $f (f (1)) =$ （）

A、5 B、0 C、-3 D、-4

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7. 不等式 $- x^{2} - | x | + 6 > 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 2 < x < 3}$ B、 ${x | - 2 < x < 2}$ C、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 3}$ D、 ${x | x < - 3$ 或 $x > 2}$

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8. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(3 ， \frac{1}{9})$ ，则函数 $g (x) = (x - 1) f (x)$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上的最大值是（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{4}$ D、0

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9. 下列函数中，表示同一个函数的是（）

A、 $y = x$ 与 $y = \frac{x^{2} - x}{x - 1}$ B、 $y = x - 2$ 与 $y = \sqrt{(x - 2)^{2}}$ C、 $y = x^{0}$ 与 $y = 1 (x \neq 0)$ D、 $f (x) = x^{2}$ 与 $S (t) = t^{2}$

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10. 若集合A，B，U满足 $A ∩ (∁_{U} B) = \emptyset$ ，则（）

A、 $A \cap B = A$ B、 $A ∪ B = U$ C、 $A ∪ (∁_{U} B) = U$ D、 $B ∪ (∁_{U} A) = U$

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11. 已知正数 $a ， b$ 满足 $a + 2 b = 2 a b$ ，则下列说法一定正确的是（）

A、 $a + 2 b \geq 4$ B、 $a + b \geq 4$ C、 $a b \leq 2$ D、 $a^{2} + 4 b^{2} \geq 8$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为A，若对任意 $x ∈ A$ ，存在正数M，使得 $| f (x) | \leq M$ 成立，则称函数 $f (x)$ 是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（）

A、 $f (x) = \frac{3 + x}{4 - x}$ B、 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ C、 $f (x) = \frac{5}{x^{2} - 2 x + 2}$ D、 $f (x) = | x | + \sqrt{4 - | x |}$

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13. 函数 $y = \sqrt{x^{3} - 1}$ 的定义域是.

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14. 满足 ${0 ， 1} \subseteq M$ $⫋ {0 ， 1 ， 3 ， 5}$ 的集合 $M$ 的个数为.

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15. 若 $f (\frac{1}{x}) = \frac{x}{1 － x}$ ，则f(x)＝.

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (- 2) = 0$ ，若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (- \infty ， 0)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{x_{1} \cdot f (x_{1}) - x_{2} \cdot f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为.

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17. 已知 $m$ 为实数， $A = {x | x^{2} - (m + 1) x + m = 0}$ ， $B = {x | m x - 1 = 0}$ ．

(1)、当 $A ⊆ B$ 时，求 $m$ 的取值集合；

(2)、当 $B$ $⫋ A$ 时，求 $m$ 的取值集合.

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18. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ．

(1)、求证： $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递减；在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增；

(2)、当 $x \in [\frac{1}{2} ， 2]$ 时，求函数 $f (\frac{1}{f (x)})$ 的值域．

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19. 已知 $p ： x^{2} - 6 a x + 8 a^{2} < 0 (a \neq 0) ， q ： x^{2} - 4 x + 3 \leq 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，若 $p ， q$ 同时成立，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式： $\frac{y}{x} < \frac{y + m}{x + m} (x > y > 0 ， m > 0)$ ．

(1)、证明榶水不等式；

(2)、已知 $a ， b ， c$ 是三角形的三边，求证： $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} < 2$ ．

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21. 某企业投资144万元用于火力发电项目， $n (n \in N_{+})$ 年内的总维修保养费用为（ $4 n^{2} + 40 n$ ）万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元．（纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本）

(1)、写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；

(2)、随着中国光伏产业的高速发展，集群效应及技术的不断革新带来了成本的进一步降低．经过慎重考虑，该公司决定投资太阳能发电项目，针对现有火力发电项目，有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以12万元转让该项目；
②纯利润最大时，以4万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．

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22. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的单调递增函数，且 $f (0) = 1 ， f (1) = 2$ .

(1)、解不等式 $f (2 x - 1) < 1$ ；

(2)、若 $f (x) \leq m^{2} - a m + 2$ 对 $\forall a \in [- 1 ， 1]$ 和 $\forall x \in [- 1 ， 1]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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河北省沧州市运东七县联考2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

五、证明题

六、解答题

七、证明题

八、应用题

九、解答题