安徽省九师联盟2023-2024学年高三上学期数学10月期中试卷

试卷更新日期：2023-11-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{3 + i}{z} = 1 - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 设集合 $A = {x | y = l n (x - 3)} ， B = {x | x \leq - 1}$ ，则 ${x | - 1 < x \leq 3} =$ （）

A、 $∁_{R} (A ∩ B)$ B、 $∁_{R} (A \cup B)$ C、 $A ∩ (∁_{R} B)$ D、 $A \cup (∁_{R} B)$

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3. 已知 $P (s i n θ ， c o s θ)$ 是角 $- \frac{π}{3}$ 的终边上一点，则 $t a n θ =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 和实数 $λ$ ，则“ $\vec{a} = λ \vec{b}$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 扇子是引风用品，夏令必备之物．我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇．如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中 $∠ A O B = θ ， C ， D$ 分别在 $O A ， O B$ 上， $A C = B D = m ， \overset{⌢}{A B}$ 的长为 $l$ ，则该折扇的扇面 $A B D C$ 的面积为（）

A、 $\frac{m (l - θ)}{2}$ B、 $\frac{m (l - θ m)}{2}$ C、 $\frac{m (2 l - θ)}{2}$ D、 $\frac{m (2 l - θ m)}{2}$

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6. 已知 $a = {(\frac{3}{2})}^{- 0.6} ， b = l o g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{4} ， c = {(\frac{2}{3})}^{0.9}$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > a > b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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7. 如图，已知两个单位向量 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ 和向量 $\vec{O C} ， | \vec{O C} | = 2 .$ $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为 $θ$ ，且 $c o s θ = \frac{3}{5} ， \vec{O B}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角为 $4 5^{∘}$ ，若 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B} (x ， y \in R)$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = (l n x)^{2} - \frac{a}{2} x l n x + \frac{a}{e} x^{2}$ 有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{e^{2} - e} ， 0)$ B、 $(- \frac{1}{e^{2}} ， 0)$ C、 $(- \frac{1}{2 e} ， 0)$ D、 $(- \frac{2}{e} ， 0)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}) ， x_{1} ， x_{2}$ 为 $f (x)$ 的两个极值点，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，直线 $x = \frac{π}{3}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $ω = 4$ B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称

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10. 下列式子中最小值为4的是（）

A、 $s i n^{2} x + \frac{4}{s i n^{2} x}$ B、 $2^{x} + 2^{2 - x}$ C、 $\frac{1}{s i n^{2} x} + \frac{1}{c o s^{2} x}$ D、 $4 l n (\sqrt{x^{2} + 1} - x) + l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数为 $f^{'} (x) ， \forall x \in R ， f (4 + x) - f (- x) = 0$ ，且 $f (x + 1)$ 为奇函数，若 $f^{'} (1) = - 1$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、4为 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f^{'} (2) = 1$ D、 $f^{'} (2023) = 1$

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， P$ 为 $△ A B C$ 内一点，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{P A} + 2 \vec{P B} + 3 \vec{P C} = \vec{0}$ ，则 $△ P A C$ 的面积与 $△ P A B$ 的面积之比是 $2 ： 3$ B、若 $a = 3 \sqrt{2} ， b = 4 ， A = \frac{π}{4}$ ，则满足条件的三角形有两个 C、若 $\frac{\vec{A B} \cdot \vec{B C}}{| \vec{A B} |} = - \frac{\vec{A C} \cdot \vec{B C}}{| \vec{A C} |}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若点 $P$ 是 $△ A B C$ 的重心，且 $2 a \cdot \vec{P A} + b \cdot \vec{P B} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} c \cdot \vec{P C} = \vec{0}$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为．

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14. $t a n 20 ° + 4 s i n 20 ° =$ ．

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15. 函数 $y = \frac{s i n x - c o s x}{2 - s i n x c o s x}$ 的值域为．

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16. 函数 $f (x) = (x^{2} - 6 x) s i n (x - 3) + x + a (x \in [0 ， 6])$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，若 $M + m = 8$ ，则 $a =$ ．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (2 c o s^{2} x ， s i n x) ， \vec{b} = (\frac{1}{2} ， \sqrt{3} c o s x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $A + B = \frac{7}{12} π ， f (A) = 1 ， B C = 2 \sqrt{3}$ ，求边 $A C$ 的长．

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18. 已知 $f (x) = l o g_{3} (m^{x} + 1) - x (m > 0$ ，且 $m \neq 1)$ 是偶函数．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $\frac{1}{2} \cdot 3^{f (x)} - 3 [(\sqrt{3})^{x} + (\sqrt{3})^{- x}] + a \leq 0$ 在 $R$ 上有解，求实数 $a$ 的最大整数值．

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19. 已知 $s i n α$ 是方程 $5 x^{2} - 7 x - 6 = 0$ 的根．

(1)、求 $\frac{s i n (- α - \frac{3}{2} π) \cdot c o s (\frac{3}{2} π - α) \cdot c o s (2 π - α) \cdot t a n (π - α)}{c o s (\frac{π}{2} - α) \cdot c o s (\frac{π}{2} + α)}$ 的值；

(2)、若 $α$ 是第四象限角， $s i n (β - \frac{π}{6}) = \frac{5}{13} (0 < β < \frac{π}{2})$ ，求 $s i n (β - α + \frac{π}{3})$ 的值．

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20. 南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台 $P$ 在半圆形的中轴线 $O C$ 上（图中 $O C$ 与直径 $A B$ 垂直， $P$ 与 $O ， C$ 不重合），通过栈道把 $P A ， P B ， P C ， A B$ 连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知 $A B = 200 m ， ∠ P A B = θ$ ，栈道总长度为函数 $f (θ)$ ．

(1)、求 $f (θ)$ ；

(2)、若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台 $P$ 的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．

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21. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， S$ 为 $△ A B C$ 的面积，且 $a^{2} = 2 S + (b - c)^{2}$ ．

(1)、求 $t a n A$ 的值；

(2)、若 $a = 8$ ，证明： $16 < b + c \leq 8 \sqrt{5}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - s i n x - c o s x ， f^{'} (x)$ 为其导函数．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[- π ， + \infty)$ 上极值点的个数；

(2)、若 $f^{'} (x) \geq a x + 2 - 2 c o s x (a \in R)$ 对 $\forall x \in [- π ， + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的值．

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