沪科版数学九年级上册相似三角形判定及性质应用（专题拓展）-在线组卷题库

1. 如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点 $F$ ，若 $D E = 12$ ，则DF等于（）.

A、3 B、4 C、6 D、8

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2. 如图，由边长为 $1$ 的小正方形组成的虚线网格中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为格点 $($ 即小正方形的顶点 $)$ ， $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $P$ ，则 $P C$ 的长为．

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3. 如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 都在格点处， $A B$ 与 $C D$ 相交于 $O$ ，则 $\frac{O A}{O B} =$ ．

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4. 如图，已知 $A B ⊥ B C$ 、 $D C ⊥ B C$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，作 $O M ⊥ B C$ 于点 $M$ ，点 $E$ 是 $B D$ 的中点， $E F ⊥ B C$ 于点 $G$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，若 $A B = 4$ ， $C D = 6$ ，则 $O M - E F$ 值为（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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5. 如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，点E是边AB上一点，连接DE交AC于点F.

(1)、如图1，若点E为AB的中点，且 $B C = 3 C D$ ，求 $\frac{E F}{F D}$ 的值；

(2)、如图2，若 $B C = C D$ ， $A E = E F$ ，且 $∠ B E D = 60 °$ ，求BE与CF的数量关系；

(3)、如图3，若 $C D = 2 B C = 4$ ， $B E = 2 A E$ ，且 $∠ B E D = \frac{2}{3} ∠ A C B = 60 °$ ，试直接写出边AC的长为.

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6.
如图， $E$ 是矩形 $A B C D$ 的边 $C B$ 上的一点， $A F ⊥ D E$ 于点 $F$ ， $A B = 6$ ， $A D = 4$ ， $C E = 1$ ．

(1)、求证： $△ A F D$ ∽ $△ D C E$ ．

(2)、计算点 $A$ 到直线 $D E$ 的距离为．

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7. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $C B$ 、 $A C$ 的延长线上，且 $∠ D A B = ∠ E B C$ ， $E B$ 的延长线交 $A D$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ D B F$ ∽ $△ E B C$ ；

(2)、如果 $A B = B C$ ，求证： $E C^{2} = D F \cdot D A$ ．

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， E是边AC上一点，且 $B E = B C$ ，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证： $△ A D E ∽ △ A B C$ ．

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $A B$ 上一点.

(1)、当 $∠ A C D = ∠ B$ 时，
①求证： $△ A B C ∽ △ A C D$ ；
②若 $A D = 1$ ， $B D = 3$ ，求 $A C$ 的长；

(2)、已知 $A B = \sqrt{2} A C = 2 A D$ ，若 $C D = 2$ ，求 $B C$ 的长.

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10. 如图，已知菱形 $A B C D$ ，点 $E$ 是 $B C$ 上的点，连接 $D E$ ，将 $△ C D E$ 沿 $D E$ 翻折，点 $C$ 恰好落在 $A B$ 边上的 $F$ 点上，连接 $D F$ ，延长 $F E$ ，交 $D C$ 延长线于点 $G$ ．

(1)、求证： $△ D F G$ ∽ $△ F A D$ ；

(2)、若菱形 $A B C D$ 的边长为 $5$ ， $A F = 3$ ，求 $B E$ 的长．

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11. 如图，点P在 $△ A B C$ 的边AC上，要判断 $△ A B P ∽ △ A C B$ ，添加下列一个条件，不正确的是（）

A、 $∠ A B P = ∠ C$ B、 $∠ A P B = ∠ A B C$ C、 $\frac{A P}{A B} = \frac{A B}{A C}$ D、 $\frac{A P}{A B} = \frac{B P}{B C}$

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12. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分 $∠ B A C$ ，交DE于点 $G$ .已知 $A E = 3 ， E C = 1 ， A D = 2 ， B D = 4$ ，求AF：AG的值.

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13. 如图， $∠ A B D = ∠ B C D = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A D C$ ，点 $M$ 为 $A D$ 的中点，连接 $C M$ 交 $B D$ 于点 $N$ ．

(1)、求证： $B D^{2} = A D \cdot C D$

(2)、求证： $B M$ $∥$ $C D$

(3)、若 $C D = 6$ ， $A D = 8$ ，求 $M N$ 的长．

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14. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ C = 80^{\circ}$ ， $A C = 4$ ， $B C = 6$ .将 $Δ A B C$ 沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（）

A、①②③ B、②③④ C、①② D、④

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A G$ 平分 $∠ B A C$ ，点D在边 $A B$ 上，线段 $C D$ 与 $A G$ 交于点E，且 $∠ A C D = ∠ B$ ，下列结论中，错误的是（　　）

A、 $△ A C D ∽ △ A B C$ B、 $△ A D E ∽ △ A C G$ C、 $△ A C E ∽ △ A B G$ D、 $△ A D E ∽ △ C G E$

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $12$ ，点 $E$ 为 $B C$ 边上一点， $B E = 4$ ，点 $F$ 为 $C D$ 边上一动点，连接 $B F$ 、 $D E$ 交于点 $G$ ，连接 $A G$ ，当 $A G = B G$ 时，则 $F G$ 的长为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{13}{2}$ D、 $5$

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17. 如图， $A B C D$ 是正方形，E是 $C D$ 的中点，P是 $B C$ 边上的一动点，下列条件中，能得到 $△ A B P$ 与 $△ E C P$ 相似的是（）

A、 $\frac{A B}{C E} = \frac{B P}{C P}$ B、P是 $B C$ 的中点 C、 $∠ B A P = ∠ E P C$ D、 $A B ： B P = 3 ： 2$

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18. 如图所示， $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，有下列结论：① $\frac{D G}{G B} = \frac{1}{2}$ ；② $\frac{A E}{A B} = \frac{E D}{B C}$ ；③ $△ E D G ∽ △ C B G$ ；④ $\frac{S_{△ E D C ；}}{S_{△ C B G}} = \frac{1}{4}$ .其中正确的是.(填序号)

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19. 如图，矩形纸片 $A B C D$ ， $A D = 4$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A D$ 、 $B C$ 上，把纸片按如图所示的方式沿 $E F$ 折叠，点 $A$ 、 $B$ 的对应点分别为 $A'$ 、 $B'$ ，连接 $A A'$ 并延长交线段 $C D$ 于点 $G$ ， $G$ 为线段 $C D$ 中点，则线段 $E F$ 的长为．

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20. 如图，一张矩形纸片ABCD中， $\frac{B C}{A B} = m$ （m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，点D的对应点为点M ， CD与HM交于点P ．当点H落在BC的中点时，且 $\frac{C P}{C D} = \frac{1}{4}$ ， m= ．

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21. 如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE．

(1)、如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE=2时，则 $\frac{G E}{G D} =$ ；

(2)、如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长；

(3)、如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C H ⊥ A B$ ， $C H = h$ ， $A B = c$ ，若内接正方形 $D E F G$ 的边长是 $x$ ，则 $h$ 、 $c$ 、 $x$ 的数量关系为（）

A、 $x^{2} + h^{2} = c ²$ B、 $\frac{1}{2} x + h = c$ C、 $h^{2} = x c$ D、 $\frac{1}{x} = \frac{1}{h} + \frac{1}{c}$

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23. 从三角形 $($ 不是等腰三角形 $)$ 的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

(1)、如图 $①$ ，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 为角平分线， $∠ A = 40 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，求证： $C D$ 为 $△ A B C$ 的完美分割线；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 48 °$ ， $C D$ 是 $△ A B C$ 的完美分割线，且 $△ A C D$ 为等腰三角形，求 $∠ A C B$ 的度数；

(3)、如图 $②$ ，在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $C D$ 是 $△ A B C$ 的完美分割线，且 $△ A C D$ 是以 $C D$ 为底边的等腰三角形，求完美分割线 $C D$ 的长．

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24. 如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现的，后来被数学爱好者、法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名．布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，点P为△ABC的布罗卡尔点．若PB＝4，则PA+PC＝．

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沪科版数学九年级上册相似三角形判定及性质应用（专题拓展）

一、预备定理

二、两角分别相等(AA)

三、两边成比例且夹角相等（SAS）

四、相似综合判定

五、折叠问题（相似综合）

六、阅读理解型（相似相关）