期中微专题提分精炼：相似三角形判定定理的证明-2023-2024学年北师大版九年级（上）数学

试卷更新日期：2023-11-02 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC，且AD：BD＝1：2，那么S_△ADE：S_△ABC的值为（）

A、1：4 B、1：6 C、1：8 D、1：9

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2. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 在物理课中同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一支点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间数一块钻有小孔章的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像（如图1），这种现象就是小孔成像，在图2中，如果蜡烛火焰图1根B到孔О的距离为 $4 c m$ ，火焰根的像 $B ′$ 到孔O的距离为10cm，蜡烛火焰 $A B$ 的高度为 $2 c m$ ，那么倒立的像 $A' B^{'}$ 的高度为（）

A、 $2 c m$ B、 $4 c m$ C、 $5 c m$ D、 $7 c m$

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4. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $D E // B C$ ， $A D ： D B = 2 ： 3$ ，若 $Δ A D E$ 的周长为 $2 a$ ，则 $Δ A B C$ 的周长是（）

A、 $3 a$ B、 $9 a$ C、 $5 a$ D、 $25 a$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 的中点.若 $△ A B C$ 的面积为 $1$ ，则 $△ D E F$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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6. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图， $A D$ 和 $C B$ 相交于点O，点A，B之间的距离为1.2米， $A B ∥ C D$ ，根据图2中的数据可得点C，D之间的距离为（　　）

A、0.8米 B、0.86米 C、0.96米 D、1米

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7. 如图， $▱ A B C D$ 中，E是 $A B$ 延长线上一点， $D E$ 交 $B C$ 于点F，且 $B E ： A B = 3 ： 2$ ， $A D = 10$ ，则 $C F =$ （　　）

A、2 B、3 C、4 D、6

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8. 已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，已知D是 $△ A B C$ 中的边 $B C$ 上的一点， $∠ B A D = ∠ C$ ， $∠ A B C$ 的平分线交边 $A C$ 于E，交 $A D$ 于F，那么下列结论中错误的是（）

A、△BAC∽△BDA B、△BFA∽△BEC C、△BDF∽△BEC D、△BDF∽△BAE

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10. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 2$ ， E，F分别是 $A D$ ， $D C$ 的中点，连接 $B E$ ， $B F$ ， $E F$ ，点P为边 $B E$ 上一点，过点P作 $P Q ∥ E F$ ，交 $B F$ 于点Q，若 $\frac{S_{△ B P Q}}{S_{△ B E F}} = \frac{1}{2}$ ，则 $P Q$ 的长为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

11. 如图，点D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ B = 72 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，若 $C D = 1$ ，则 $A C$ 的长为．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E，点F分别是 $A D$ 边和 $B C$ 边的中点， $B E ⊥ A C$ 于点M，连接 $D M ， D F$ ，下列四个结论：① $C M = 2 A M$ ；② $S_{△ A B M} =$ $\frac{4}{9} S_{Δ A B E}$ ；③ $△ A E B ∽ △ D C A$ ；④ $D M ＝ D C$ ，其中正确的结论有．（只填写序号即可）

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14. 如图，点D在 $△ A B C$ 边 $B C$ 上， $A B = B D = 4$ ， $A C = 7$ ， $B C = 9$ ，点E、F分别在边 $A C$ 、 $B C$ 上，连接 $A D$ ，将 $△ A D C$ 沿着 $A D$ 翻折，点E恰好与点F重合，则 $A E$ 的长等于．

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15. 如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为．

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三、解答题

16. 从三角形 $($ 不是等腰三角形 $)$ 的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

(1)、如图 $①$ ，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 为角平分线， $∠ A = 40 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，求证： $C D$ 为 $△ A B C$ 的完美分割线；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 48 °$ ， $C D$ 是 $△ A B C$ 的完美分割线，且 $△ A C D$ 为等腰三角形，求 $∠ A C B$ 的度数；

(3)、如图 $②$ ，在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $C D$ 是 $△ A B C$ 的完美分割线，且 $△ A C D$ 是以 $C D$ 为底边的等腰三角形，求完美分割线 $C D$ 的长．

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17. 如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝1，PD＝2，求PA的长度．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4 ， B C = 5$ ， D，E分别为 $B C ， A C$ 边上的点， $∠ A D E = ∠ B$ ，当 $B D = 2$ 时，求 $E C$ 的长．

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19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果 $\frac{C E}{B E} = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{F E}{E G}$ 的值．

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20. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，BE⊥EF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．

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四、综合题

21. 如图（1）所示，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， D是 $A B$ 上一点（不与A，B重合）， $D E ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点E，连结 $C D$ .设 $△ A B C$ 的面积为S， $△ D E C$ 的面积为 $S^{'}$ .

(1)、当 $A D = 3$ 时， $△ A D E$ 的面积是6，求 $△ D E C$ 的面积 $S^{'}$ 的值；

(2)、当 $A D = 3$ 时，求S值（结果用含字母 $S^{'}$ 的代数式表示）；

(3)、如图（2）所示，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D ∥ B C ， A D = \frac{1}{2} B C$ ， E是 $A B$ 上一点（不与A，B重合）， $E F ∥ B C$ ，交 $C D$ 于点F，连结 $C E$ .设 $A E = n$ ，四边形 $A B C D$ 的面积为S， $△ C E F$ 的面积为 $S^{'}$ ，请你利用前面问题的解法或结论，用含字母n的代数式表示 $\frac{S^{'}}{S}$ .

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22. 已知：如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 平分 $∠ D A B$ ， $∠ A D C = ∠ A C B = 90 °$ .

(1)、尺规作图：在 $A B$ 上求作一点E，使得 $C E ∥ A D$ .（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、若 $A D = 4$ ， $A B = 6$ ，
①求 $B C$ 的长；
②在（1）的条件下，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点F，求 $\frac{A C}{A F}$ 的值.

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23. 已知：E是矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 上一个动点，直线 $E F ⊥ D E$ 交 $B C$ 于点F，

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ B F E$ ；

(2)、若直线 $E F$ 经过C点，且 $A D = 3 ， A B = 10$ ，是否存在这样的点E，使 $△ A D E$ 和 $△ B F E$ 相似？若存在，请求出 $A E$ 的长度；若不存在，请说明理由.

(3)、连结 $D F$ ，若 $A D = 3 ， A E = 2$ ，当 $△ A D E$ 和 $△ E F D$ 相似时，则 $A B =$ .

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24. 如图， $A D$ 、 $B E$ 是 $Δ A B C$ 的高，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $Δ A C D$ ∽ $Δ B C E$ ；

(2)、若点D是 $B C$ 的中点， $C E = 3$ ， $B E = 4$ ，求 $A B$ 的长．

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25. 综合与实践
问题情境：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点B顺时针旋转得到 $R t △ E B D$ ，连接 $A E$ ，连接 $C D$ 并延长交 $A E$ 于点F．

(1)、猜想验证：
试猜想 $△ C B D$ 与 $△ A B E$ 是否相似？并证明你的猜想．

(2)、探究证明：
如图，连接 $B F$ 交 $D E$ 于点H， $A B$ 与 $C F$ 相交于点G， $\frac{D H}{B H} = \frac{F H}{E H}$ 是否成立？并说明理由．

(3)、拓展延伸：
若 $C D = E F$ ，直接写出 $\frac{B C}{A B}$ 的值．

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