北京市重点大学附中2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-11-01 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} =3$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{10} \div \sqrt{5} =2$

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2. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B D$ 是 $A C$ 边上的高， $D C = 2$ ，则 $B D$ 等于（）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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3. 下列命题中错误的是（）

A、矩形的对角线相等 B、对角线相等的四边形是矩形
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D、平行四边形的对边相等

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4. 下列曲线中不能表示 $y$ 是 $x$ 的函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若一次函数 $y = k x + b$ 的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，且图象与 $x$ 轴的负半轴相交，那么对 $k$ 和 $b$ 的符号判断正确的是（）

A、 $k > 0$ ， $b > 0$ B、 $k > 0$ ， $b < 0$ C、 $k < 0$ ， $b > 0$ D、 $k < 0$ ， $b < 0$

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6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有一个根为 $0$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $- 1$

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7. 某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是（）

A、平均数比 $16$ 大 B、中位数比众数小
C、若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大
D、若年龄最大的选手离队，则方差将变小

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8. 如图，匀速地向该容器内注水（单位时间内注水体积相同），在注满水的过程中，满足容器中水面的高度y与时间x之间函数关系的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 若 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

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10. 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，中间所夹三角形为直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为．

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11.
如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．

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12. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点 $B$ 的坐标为 $(2 ， 3)$ ，则 $A C =$ ．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $A C$ 的垂直平分线， $A C = 6 .$ 若 $△ A B D$ 的周长为 $13$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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14. 已知直线 $y = k x + b$ 和直线 $y = - 2 x$ 平行，且过点 $(0 ， - 2)$ ，则此直线与 $x$ 轴的交点坐标为．

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15. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $O A B C$ 为正方形，点 $A$ 的坐标为 $(3 ， 0) .$ 若直线 $l_{1}$ ： $y = - x + b_{1}$ 和直线 $l_{2}$ ： $y = - x + b_{2} (b_{1} \neq b_{2})$ 被正方形 $O A B C$ 的边所截得的线段长度相等，写出一组满足条件的 $b_{1}$ 与 $b_{2}$ 的值．

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16. 某快递员负责为

A

，

B

，

C

，

D

，

E

五个小区取送快递，每送一个快递收益

1

元，每取一个快递收益

2

元，某天

5

个小区需要取送快递数量如表

小区	需送快递数量	需取快递数量
$A$	$15$	$6$
$B$	$10$	$5$
$C$	$8$	$5$
$D$	$4$	$7$
$E$	$13$	$4$

(1)、如果快递员一个上午最多前往

3

个小区，且要求他最少送快递

30

件，最少取快递

15

件，写出一种满足条件的方案

(

写出小区编号

)

；

(2)、在

(1)

的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案

(

写出小区编号

)

．

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三、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.

(1)、计算 $\sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{3}} + | 2 - \sqrt{3} |$ ；

(2)、解方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ ．

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18. 已知：如图， $E$ 、 $F$ 分别是▱ $A B C D$ 的边 $B C$ 、 $A D$ 上的点，且 $∠ 1 = ∠ 2$ ．
求证： $A E = C F$ ．

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 2 m - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m$ 为正整数，且该方程的根都是整数，求 $m$ 的值．

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20. 已知一次函数的图象经过 $A (- 2 ， 4)$ ， $B (1 ， 1)$ ．

(1)、求一次函数解析式；

(2)、若正比例函数 $y = m x (m \neq 0)$ 与线段 $A B$ 有公共点，直接写出 $m$ 的取值范围．

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21. 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，CD=15，BD=25，求AC的长。

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22. 为了解我国

2022

年第一季度

25

个地区第一季度快递业务收入的情况，收集了这

25

个地区第一季度快递业务收入

(

单位：亿元

)

的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．

a .

排在前

5

位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：

534.9

，

437.0

，

270.3

，

187.7

，

104.0

b .

其余

20

个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：

快递业务收入 $x$	$0 \leq x < 20$	$20 \leq x < 40$	$40 \leq x < 60$	$60 \leq x \leq 80$
频数	$6$	$10$	$1$	$3$

$c .$ 第一季度快递业务收入的数据在 $20 \leq x < 40$ 这一组的是： $20.2$ ， $20.4$ ， $22.4$ ， $24.2$ ， $26.1$ ， $26.5$ ， $28.5$ ， $34.4$ ， $39.1$ ， $39.8$
$d .$ 排在前 $5$ 位的地区、其余 $20$ 个地区、全部 $25$ 个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：

	前 $5$ 位的地区	其余 $20$ 个地区	全部 $25$ 个地区
平均数	$306.8$	$29.9$	$n$
中位数	$270.3$	$m$	$28.5$

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表中

m

的值为 ▲ ；

(2)、在下面的

3

个数中，与表中

n

的值最接近的是 ▲

(

填写序号

)

；

① 30

② 85

③ 150

(3)、根据

(2)

中的数据，预计这

25

个地区

2022

年全年快递业务收入约为 ▲ 亿元．

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23. 对于正数 $x$ ，用符号 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分，例如 $[0.1] = 0$ ， $[2.5] = 2$ ， $[3] = 3 .$ 点 $A (a ， b)$ 在第一象限内，以 $A$ 为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直 $.$ 其中垂直于 $y$ 轴的边长为 $a$ ，垂直于 $x$ 轴的边长为 $[b] + 1$ ，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点 $A$ 的矩形域 $.$ 例如：点 $(3 ， \frac{3}{2})$ 的矩形域是一个以 $(3 ， \frac{3}{2})$ 为对角线交点，长为 $3$ ，宽为 $2$ 的矩形所覆盖的区域，如图 $1$ 所示，它的面积是 $6$ ．
根据上面的定义，回答下列问题：

(1)、在图 $2$ 所示的坐标系中画出点 $(2 ， \frac{7}{2})$ 的矩形域，该矩形域的面积是；

(2)、点 $P (2 ， \frac{7}{2})$ ， $Q (a ， \frac{7}{2}) (a > 0)$ 的矩形域重叠部分面积为 $1$ ，则 $a$ 的值为．

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24. 如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C$ ， $D$ 为 $A C$ 延长线上一点，连接 $B D$ ，将线段 $B D$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，连接 $A E$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、比较 $A F$ 与 $C D$ 的大小，并证明；

(3)、连接 $B E$ ， $G$ 为 $B E$ 的中点，连接 $C G$ ，用等式表示线段 $C D ， C G ， B C$ 之间的数量关系，并证明．

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