广东省梅州市大埔县2023-2024学年高二上册数学10月期中试卷

试卷更新日期：2023-11-01 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 若 $\vec{a} = (2 ， 3 ， 2) ， \vec{b} = (1 ， 2 ， 2) ， \vec{c} = (- 1 ， 2 ， 2)$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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2. 直线 $m x + y + 2 = 0$ 的倾斜角为135°，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（）

A、（﹣2，3） B、（0，1） C、（3，3） D、（3，2）

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4. 在 $△ A B C$ 中， $b = 2 ， C = 60 ° ， c = \sqrt{3}$ ，则角 $B$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 已知空间三点O(0，0，0)，A(1， $\sqrt{3}$ ， 2)，B( $\sqrt{3}$ ， -1，2)，则以OA ， OB为邻边的平行四边形的面积为（）

A、8 B、4 C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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6. 如图，在四面体 $A B C D$ 中，点 $E$ 为棱 $C D$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- 2 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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7. 已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为a ， AC₁与BD₁相交于点O ，则有（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A_{1} C_{1}} = a^{2}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C_{1}} = \sqrt{2} a^{2}$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{A O} = \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}$ D、 $\vec{B C} \cdot \vec{D A_{1}} = a^{2}$

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8. 在一直角坐标系中，已知 $A (- 1 ， 6) ， B (3 ， - 8)$ ，现沿 $x$ 轴将坐标平面折成 $6 0^{°}$ 的二面角，则折叠后 $A ， B$ 两点间的距离为（）

A、 $2 \sqrt{41}$ B、 $\sqrt{41}$ C、 $\sqrt{17}$ D、2 $\sqrt{17}$

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ，下列命题是真命题的为（）

A、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则两条直线的斜率相等 B、若两条直线的斜率相等，则 $l_{1} / / l_{2}$ C、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $α_{1} = α_{2}$ D、若 $α_{1} = α_{2}$ ，则 $l_{1} / / l_{2}$

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10. 设α是三角形的一个内角，则下列三角函数值中可能为负值的是（）

A、sinα B、cosα C、tanα D、tan $\frac{α}{2}$

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11. 如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且 $∠ A O B = \frac{π}{6}$ .质点A以 $\frac{π}{6} r a d / s$ 的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以 $\frac{π}{12} r a d / s$ 的角速度按逆时针方向运动，则（）

A、经过1 $s$ 后，扇形AOB的面积为 $\frac{5 π}{12}$ B、经过2 $s$ 后，劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为 $\frac{2 π}{3}$ C、经过6 $s$ 后，质点B的坐标为 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ D、经过 $\frac{22}{3} s$ 后，质点A，B在单位圆上第一次相即

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12. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = C C_{1} = 2$ ， E为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，过AE的截面与棱BB、 $A_{1} C_{1}$ 分别交于点F、G ，则下列说法中正确的是（）

A、当点F为棱 $B B_{1}$ 中点时，截面 $A F E G$ 的周长为 $\sqrt{13} + 3 + \sqrt{2}$ B、线段 $C_{1} G$ 长度的取值范围是 $[0 ， 1]$ C、当点F与点B重合时，三棱锥 $C - A E F$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ D、存在点F ，使得 $A_{1} F ⊥ A E$

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE，则DE=.

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14. 已知空间直角坐标系中的点 $P (1 ， 1 ， 1)$ ， $A (1 ， 0 ， 1)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ，则点P到直线AB的距离为 .

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15. 已知A（4，8），B（2，4），C（3，y）三点共线，则y＝．

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16. 在三棱锥P－ABC中，PA ， AB ， AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为．

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四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 求满足下列条件的直线的方程.

(1)、直线过点 $(- 1 ， 2)$ ，且与直线 $x + y - 2 = 0$ 平行；

(2)、直线过 $(0 ， 1)$ 点且与直线 $3 x + y + 1 = 0$ 垂直.

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18. 如图，已知平面四边形ABCD ， $∠ A = 45 °$ ， $∠ A B C = 75 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ， $B D = 2$ ， $C D = \sqrt{3}$ .

(1)、求 $∠ C B D$ ；

(2)、求AB的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x - \cos ω x (ω > 0)$ 图象的相邻两条对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、若 $f (x) = 1$ ，求 $x$ 的值；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，所得图象与函数 $y = 2 \cos 2 x$ 的图象重合，求实数 $m$ 的最小值.

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20. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，如图E、F分别是 $B B_{1}$ ， CD的中点，

(1)、求证： $D_{1} F ⊥$ 平面ADE；

(2)、求 $E F$ 与 $C B_{1}$ 所成的角的大小.

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21. 在△ABC中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $b = \sqrt{6}$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ .再在条件①、条件②、条件③中选择1个作为已知，使得△ABC存在并且唯一.条件① $B = \frac{π}{4}$ ；条件② $a = \sqrt{3}$ ；条件③a=3.

(1)、求c的值；

(2)、求△ABC的面积.

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22. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， $A B = \sqrt{2}$ ， AF=t ， M是线段EF的中点．

(1)、求证：AM∥平面BDE；

(2)、若t=1，求二面角A−DF−B的大小；

(3)、若线段AC上总存在一点P ，使得PF⊥BE ，求t的最大值．

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