山东省德州市五中2023-2024学年上学期九年级第一次月考数学考试试卷

试卷更新日期：2023-11-01 类型：月考试卷

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一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）

1. 下列函数中不属于二次函数的是（）

A、 $y = 5 x^{2}$ B、 $y = \frac{1}{2} (x + 1)^{2}$ C、 $y = 2 (x + 2)^{2} - 2 x^{2}$ D、 $y = 1 - \sqrt{3} x^{2}$

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2. 关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} + x + a^{2} - 1 = 0$ 的一个根是0，则a的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、1或 $- 1$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 若 $m$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 2 = 0$ 的一个根，则代数式 $2 m^{2} - 2 m$ 的值为（）

A、0 B、2 C、 $- 2$ D、4

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4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值䓈围是（）

A、 $k > - 5$ 且 $k \neq 1$ B、 $k < 5$ ，且 $k \neq 1$ C、 $k \leq 5$ ，且 $k \neq 1$ D、 $k < 5$

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5. 抛物线 $y = (x - 1)^{2} + 2$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， - 2)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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6. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ 的两根，则该等腰三角形的周长是（）

A、12 B、9 C、13 D、12或9

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7. 已知 $N = 6 m - 25 ， M = m^{2} - 2 m$ （ $m$ 为任意实数），则 $M 、 N$ 的大小关系为（）

A、 $M < N$ B、 $M > N$ C、 $M = N$ D、不能确定

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8. 已知 $(x^{2} + y^{2} + 1) (x^{2} + y^{2} - 3) = 5$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为（）

A、0 B、4 C、4或 $- 2$ D、 $- 2$

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9. 设 $A (0 ， y_{1}) ， B (- 1 ， y_{2}) ， C (2 ， y_{3})$ 是拋物线 $y = - (x + 2)^{2} + k$ 上的三点，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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10. 五个完全相同的小矩形拼成如图所示的大矩形，大矩形的面积是 $135 c m^{2}$ ，则小矩形的宽为（） $c m$ ．

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $3 + \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11. 函数 $y = a x - a$ 和 $y = a x^{2} + 2 (a$ 为常数，且 $a \neq 0)$ ，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图，拋物线 $y_{1} = \frac{1}{2} (x + 1)^{2} + 1$ 与 $y_{2} = a (x - 4)^{2} - 3$ 交于点 $A (1 ， 3)$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线，分别交两条抛物线B、C两点，且 $D ， E$ 分别为顶点．则下列结论：
① $a = \frac{2}{3}$ ；②AC=AE；
③ $∆ A B D$ 是等腰直角三角形；④当 $x > 1$ 时 $y_{1} > y_{2}$ ．
其中正确的结论是（）

A、①③④ B、①③ C、①②④ D、②

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二、填空题（每题4分，共24分）

13. 把方程 $2 (x - 2)^{2} = x (x - 1)$ 化为一元二次方程的一般形式为．

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14. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有个队参加比赛．

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15. 若关于 $x$ 的二次方程 $x^{2} - 3 x + n = 0$ 的两根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} - 2 = x_{1} \cdot x_{2}$ ，则 $n$ 的值是．

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16. 已知点 $P (x ， y)$ 在二次函数 $y = 2 (x + 1)^{2} - 3$ 的图象上，当 $- 2 < x \leq 1$ 时， $y$ 的取值范围是．

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17. 已知 $m ， n$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 6 = 0$ 的两根，则 $2 m^{2} + m n + 4 m$ 的值为．

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18. 已知二次函数 $y = (x - 2 a)^{2} + (a - 1)$ （a为常数），当 $a$ 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当 $a = - 1$ ， $a = 0 ， a = 1 ， a = 2$ 时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是．

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三、解答题（共7个大题，78分）

19. 解方程

(1)、 $x (x - 2) + x - 2 = 0$

(2)、 $2 x^{2} - x - 1 = 0$

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20. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (m + 2) x + 2 m - 1 = 0$ .

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根.

(2)、当 $m$ 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.

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21. 今年超市以每件 $25$ 元的进价购进一批商品，当商品售价为 $40$ 元时，三月份销售 $256$ 件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到 $400$ 件．

(1)、求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．

(2)、经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价 $1$ 元，月销量增加 $5$ 件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利 $4250$ 元？

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22. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与二次函数 $y = a x^{2}$ 的图象交于点 $A (1 ， m)$ 和 $B (- 2 ， 4)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求 $k ， b ， a$ 的值；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 5 c m ， B C = 6 c m$ ，点 $P$ 从点A开始沿边 $A B$ 向终点 $B$ 以 $1 c m / s$ 的速度移动，与此同时，点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $B C$ 向终点 $C$ 以 $2 c m / s$ 的速度移动．点 $P$ ， $Q$ 分别从点 $A ， B$ 同时出发，当点 $Q$ 移动到点 $C$ 时，两点停止移动．设移动时间为 $t s$ ． $(t > 0)$

(1)、填空： $B Q =$ $c m$ ， $P B =$ $c m$ （用含 $t$ 的代数式表示）．

(2)、当 $t$ 为何值时， $P Q$ 的长为 $5 c m$ ？

(3)、是否存在 $t$ 的值，使得 $△ P B Q$ 的面积为 $4 c m^{2}$ ？若存在，请求出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，已知抛物线的顶点为 $A (1 ， 4)$ 、抛物线与 $y$ 轴交于点 $B (0 ， 3)$ ，与 $x$ 轴交于 $C 、 D$ 两点．点 $P$ 是对称轴上的一个动点．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、当 $P C + P B$ 的值最小时，求点 $P$ 的坐标．

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25. 如图，已知抛物线 $y = - \frac{1}{4} (x - 3)^{2} + \frac{25}{4}$ 与 $x$ 轴相交于 $A 、 B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ 。

(1)、求出 $A 、 B$ 两点的坐标。

(2)、求点 $C$ 的坐标，连接 $A C 、 B C$ 并求线段 $B C$ 所在直线的解析式；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在点 $Q$ ，使 $△ A C Q$ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 $Q$ 点坐标；若不存在，请说明理由．

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