吉林省长春市重点学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学考试试卷

试卷更新日期：2023-11-01 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $- 8$ 的立方根是（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $\pm 2$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 计算 $a^{5} \cdot a^{2}$ 的结果是（）

A、 $a^{10}$ B、 $a^{7}$ C、 $a^{4}$ D、 $a^{3}$

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3. 下列运算中正确的是（）

A、 $(2 a^{3})^{2} = 2 a^{5}$ B、 $2 x^{2} - 2 x = x$ C、 $- x^{6} \div x^{3} = - x^{2}$ D、 $x (x + 1) = x^{2} + x$

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4. 计算 $(\frac{1}{4} x^{2} - 2) \cdot (- 2 x)^{2}$ 的结果是（）

A、 $- \frac{1}{2} x^{4} + 4 x^{2}$ B、 $- x^{4} + 4 x^{2}$ C、 $x^{4} - 8 x^{2}$ D、 $x^{4} + 4 x^{2}$

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5. 一个三角形的面积是 $8 (a^{2} b)^{3}$ ，它的一边长是 $(2 a b)^{2}$ ，那么这条边上的高为（）

A、 $2 a^{4} b$ B、 $4 a^{4} b$ C、 $2 a^{3} b$ D、 $4 a^{3} b$

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6. 已知 $a = 5 + 4 b$ ，则代数式 $a^{2} - 8 a b + 16 b^{2}$ 的值是（）

A、 $16$ B、 $20$ C、 $25$ D、 $30$

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）

A、 $∠ B D E = ∠ B A C$ B、 $∠ B A D = ∠ B$ C、 $D E = D C$ D、 $A E = A C$

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8. 若 $m + n = 3$ ，则 $2 m^{2} + 4 m n + 2 n^{2} - 6$ 的值为（）

A、12 B、6 C、3 D、0

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 因式分解： $2 m^{2} - 4 m =$ ．

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10. 已知 $a b^{2} = 2$ ，则 $3 a^{3} b^{6}$ 的值为．

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11. 若 $(x + 2) (x + m) = x^{2} - x - 6$ ，则 $m$ 的值为．

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12. 等腰三角形的一个底角为 $50 °$ ，则它的顶角的度数为．

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13. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $S_{△ A B C} = 7$ ， $D E = 2$ ， $A B = 4$ ，则 $A C$ 长是．

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14. 如果 $4 x^{2} + (k - 2) x y + 9 y^{2}$ 是完全平方式，则 $k =$ ．

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三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 计算：

(1)、 $(- 1)^{3} - \sqrt{16} + | 2 - π |$ ；

(2)、 $(y^{3})^{2} \cdot y^{2}$ ；

(3)、 $x^{2} \cdot (x^{2})^{3} \div x^{5}$ ；

(4)、 $y^{4} + (y^{2})^{4} \div y^{4} - (- y^{2})^{2}$ ．

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16. 化简：

(1)、 $4 x y^{2} \cdot (- \frac{3}{8} x^{2} y z)$ ；

(2)、 $(x + 3) (3 x - 2)$ ；

(3)、 $(a b - 3) (a b + 3)$ ；

(4)、 $(x + 1)^{2} - x (x - 1)$ ．

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17. 因式分解：

(1)、 $9 x^{2} - 6 x$ ；

(2)、 $4 x^{2} - 16$ ；

(3)、 $3 x^{2} y - 6 x y + 3 y$ ；

(4)、 $a^{2} - 6 a - 16$ ．

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18. 先化简，再求值： $[(a + 4 b) (2 a - b) + (a + 2 b)^{2}] \div a$ ，其中 $a = 1$ ， $b = 2$ ．

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19. 已知：如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC.∠B=∠C.求证：AF=DE．

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20. 某同学在计算一个多项式 $A$ 乘以 $- a$ 时，因抄错运算符号，算成了加上 $- a$ ，得到的结果是 $- a^{2} - 2 a + 1$ ，请求出正确的结果．

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21. 如图，是由小方格组成的网格纸，每个方格的边长都是 $1$ 个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $O$ 均在格点上．

(1)、在图 $①$ 中，作出 $△ A B C$ 向右平移 $4$ 个单位长度的三角形；

(2)、在图 $②$ 中，作出 $△ A B C$ 绕点 $O$ 沿顺时针方向旋转 $90 °$ 得到的三角形；

(3)、在图 $③$ 中，请在线段 $M N$ 上找到一点 $P$ ，连结 $A P$ 和 $C P$ ，使 $A P + C P$ 的值最小 $($ 请保留作图痕迹 $)$ ．

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22. 已知 $1 0^{a} = 5$ ， $1 0^{b} = 6$ ，求下列各式的值：

(1)、 $1 0^{a + b}$ ；

(2)、 $1 0^{2 - 2 a + b}$ ．

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23. 如图所示，长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4 c m$ ， $A D = 8 c m .$ 点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿边 $A D$ 向 $A - D - A$ 做往返运动，每秒移动 $2 c m$ ，动直线 $a$ 与边 $C D$ 重合，交 $A D$ 于点 $M$ ， $B C$ 于点 $N .$ 直线 $a$ 与点 $P$ 同时出发，沿 $D A$ 方向移动，每秒移动 $1 c m$ ，移动 $t$ 秒 $(t > 0)$ ，当直线 $a$ 与边 $A B$ 重合时，移动全部停止．

(1)、用含 $t$ 的代数式表示 $A P$ 的长度；

(2)、当 $t$ 为何值时，点 $P$ 在直线 $a$ 上；

(3)、连结 $P B$ ， $P N$ ，直接写出当 $t$ 为何值时， $△ P A B$ 与 $△ P M N$ 全等．

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24. 【感知】已知 $a + b = 5$ ， $a b = 3$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解： $∵ a + b = 5$ ， $∴ (a + b)^{2} = 5^{2} = 25$ ，即 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 25$ ．
$∵ a b = 3$ ， $∴ a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 25 - 6 = 19$ ，
【探究】参考上述过程，解答下列问题：

(1)、若 $x + y = 4$ ， $x^{2} + y^{2} = 2$ ，则 $x y =$ ；

(2)、如图 $①$ 所示，若 $a + b + c = 8$ ， $a b + a c + b c = 20$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值；

(3)、若 $m$ 满足 $(m + 3)^{2} + (5 - m)^{2} = 56$ ，求 $(m + 3) (5 - m)$ 的值；

(4)、如图 $②$ ，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ， $E$ ， $F$ 是 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $B E = D F$ ，分别以 $F C$ ， $C E$ 为边在长方形 $A B C D$ 外侧作正方形 $C F G H$ 和 $C E M N$ ，若长方形 $C E P F$ 的面积为 $50$ ，直接写出图中阴影部分的面积和为．

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