北京市重点大学附中2023-2024学年九年级上学期数学月考考试试卷（10月）

试卷更新日期：2023-11-01 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点 $(0 ， 0)$ 的是（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = (x - 4)^{2}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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2. 方程 $x^{2} - x = 0$ 的解是（）

A、 $x = 0$ B、 $x = 1$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 1$ D、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$

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3. 将一元二次方程 $x^{2} - 8 x + 10 = 0$ 通过配方转化为 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，下列结果中正确的是（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 8)}^{2} = 6$ C、 ${(x - 4)}^{2} = - 6$ D、 ${(x - 8)}^{2} = 54$

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4. 抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + x - \frac{5}{2}$ 的对称轴是（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $x = 2$ D、 $x = - 2$

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5. 关于二次函数 $y = - (x - 2)^{2} + 3$ ，以下说法正确的是（）

A、当 $x > - 2$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而减小 B、当 $x > - 2$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大 C、当 $x > 2$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而减小 D、当 $x > 2$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大

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6. 一元二次方程 $x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 9 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根

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7. 把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（）

A、 $x^{2} = 2 (2 - x)$ B、 $x^{2} = 2 (2 + x)$ C、 $(2 - x)^{2} = 2 x$ D、 $x^{2} = 2 - x$

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8.
如图，木杆AB斜靠在墙壁上，∠OAB=30°，AB=4米．当木杆的上端A沿墙壁NO下滑时，木杆的底端B也随之沿着地面上的射线OM方向滑动．设木杆的顶端A匀速下滑到点O停止，则木杆的中点P到射线OM的距离y（米）与下滑的时间x（秒）之间的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0 ， 3)$ .此二次函数的解析式可以是

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10. 若 $x = 3$ 是一元二次方程 $x^{2} - k x - 6 = 0$ 的一个根，则 $k =$ ．

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11. 点 $A (- 1 ， y_{1})$ ， $B (4 ， y_{2})$ 是二次函数 $y = (x - 1)^{2}$ 图象上的两个点，则 $y_{1}$ $y_{2} ($ 填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“=” $)$ ．

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12. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围为．

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13. 二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 4$ 的最大值为．

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14. 正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为　　．

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15. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + 2$ 可以看作是抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2$ 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2$ 得到抛物线 $y = - \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + 2$ 的过程：．

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16. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 为常数，且 $a \neq 0)$ 中的 $x$ 与 $y$ 的部分对应值如下表：
     $x$
   $- 1$
     $0$
     $1$
   $3$
     $y$
     $- 1$
     $3$
     $5$
     $3$
下列结论：
$① a c < 0$ ；
$②$ 当 $x > 1$ 时， $y$ 的值随 $x$ 的增大而减小；
$③ 3$ 是方程 $a x^{2} + (b - 1) x + c = 0$ 的一个根；
$④$ 当 $- 1 < x < 3$ 时， $a x^{2} + (b - 1) x + c > 0$ ．
其中正确的是．

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三、计算题

17. 解方程： $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ ．

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四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 已知 $a$ 是方程 $2 x^{2} - 7 x - 1 = 0$ 的一个根，求代数式 $a (2 a - 7) + 5$ 的值．

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a (x - 3)^{2} - 1$ 经过点 $(2，1)$ ．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与 $x$ 轴只有一个公共点．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上一点， $E F$ 垂直平分 $C D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，连结 $D E$ ，求证： $D E / / A B$ ．

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21. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ．

(1)、求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与 $x$ 轴的交点坐标；

(2)、画出二次函数的示意图，结合图象直接写出当函数值 $y < 0$ 时，自变量 $x$ 的取值范围．

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22. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 - m) x + 1 - m = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若 $m < 0$ ，且此方程的两个实数根的差为 $3$ ，求 $m$ 的值．

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23. 如图，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1，0)$ 和 $B (3，0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求 $b$ 和 $c$ 的值；

(2)、求直线 $A C$ 的解析式．

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24. 电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．

(1)、求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；

(2)、若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？

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25. 有这样一个问题：探究函数 $y = x^{2} - \frac{1}{x} - 4$ 的图象与性质．
嘉瑶根据学习函数的经验，对函数 $y = x^{2} - \frac{1}{x} - 4$ 的图象与性质进行了探究．
下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：

(1)、函数 $y = x^{2} - \frac{1}{x} - 4$ 的图象与 $y$ 轴交点； $($ 填写“有”或“无” $)$

(2)、下表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值：
x … -3 -2 -1 - $\frac{1}{2}$ 1 $\frac{3}{2}$ 2 $\frac{5}{2}$ …
y … $\frac{16}{3}$ $\frac{1}{2}$ -2 - $\frac{7}{4}$ n $- \frac{29}{12}$ $- \frac{1}{2}$ $\frac{37}{20}$ …

则 $n$ 的值为；

(3)、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点 $.$ 请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象；

(4)、请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程 $x^{2} - \frac{1}{x} = 4$ 的根约为 $($ 结果精确到 $0.1)$

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线： $y = a x^{2} - 2 a x + 4 (a > 0)$ ．

(1)、抛物线的对称轴为 $x =$ ；抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为；

(2)、若抛物线的顶点恰好在 $x$ 轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；

(3)、若 $A (m - 1 ， y_{1})$ ， $B (m ， y_{2})$ ， $C (m + 2 ， y_{3})$ 为抛物线上三点，且总有 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ ，结合图象，求 $m$ 的取值范围．

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27. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 在射线 $B C$ 上 $($ 与 $B$ ， $C$ 两点不重合 $)$ ，以 $A D$ 为边作正方形 $A D E F$ ，使点 $E$ 与点 $B$ 在直线 $A D$ 的异侧，射线 $B A$ 与射线 $C F$ 相交于点 $G$ ．

(1)、若点 $D$ 在线段 $B C$ 上，如图 $1$ ．
$①$ 依题意补全图 $1$ ；
$②$ 判定 $B C$ 与 $C G$ 的数量关系与位置关系，并加以证明．

(2)、若点 $D$ 在线段 $B C$ 的延长线上，且 $G$ 为 $C F$ 的中点，连接 $G E$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，则 $G E$ 的长为．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P$ ， $O$ ， $Q$ 给出如下定义：若 $O Q < P O < P Q$ 且 $P O \leq 2$ ，我们称点 $P$ 是线段 $O Q$ 的“潜力点” $.$ 已知点 $O (0，0)$ ， $Q (1，0)$ ．

(1)、在 $P_{1} (0 ， - 1)$ ， $P_{2} (\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ ， $P_{3} (- 1，1)$ 中是线段 $O Q$ 的“潜力点”是；

(2)、若点 $P$ 在直线 $y = x$ 上，且为线段 $O Q$ 的“潜力点”，求点 $P$ 横坐标的取值范围；

(3)、直线 $y = 2 x + b$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $N$ ，当线段 $M N$ 上存在线段 $O Q$ 的“潜力点”时，直接写出 $b$ 的取值范围．

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x	…	-3	-2	-1	- $\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	…
y	…	$\frac{16}{3}$	$\frac{1}{2}$	-2	- $\frac{7}{4}$	n	$- \frac{29}{12}$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{37}{20}$	…

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$3$
$y$	$- 1$	$3$	$5$	$3$