山西省临汾市洪洞二中2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

试卷更新日期：2023-11-01 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1. 计算 $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ =（　　）

A、4 B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

查看试题解析
2. 式子 $\sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A、x＜2 B、x≥2 C、x=2 D、x＜-2

查看试题解析
3. 下列二次根式中，与-5 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{0.2}$ C、 $\sqrt{20}$ D、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$

查看试题解析
4. 已知a= $\sqrt{2}$ -1，b= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，则a与b的关系（　　）

A、a=b B、ab=1 C、a=-b D、ab=-1

查看试题解析
5. 已知a﹣b＝2 $\sqrt{3}$ ﹣1，ab＝ $\sqrt{3}$ ，则（a＋1）（b﹣1）的值为（）

A、﹣ $\sqrt{3}$ B、3 $\sqrt{3}$ C、3 $\sqrt{3}$ ﹣2 D、 $\sqrt{3}$ ﹣1

查看试题解析
6. 如果关于x的一元二次方程ax²+bx+2＝0的一个解是x＝1，则代数式2023-a-b的值为（　　）

A、-2021 B、2021 C、-2025 D、2025

查看试题解析
7. 观察式子： $\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$ ， $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6$ ； $\sqrt{\frac{49}{100} \times \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{441}{400}} = \frac{21}{20}$ ， $\sqrt{\frac{49}{100}} \times \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{7}{10} \times \frac{3}{2} = \frac{21}{20}$ ； $\sqrt{0.25 \times 0.04} = \sqrt{0.01} = 0.1$ ， $\sqrt{0.25} \times \sqrt{0.04} = 0.5 \times 0.2 = 0.1$ ．由此猜想 $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \geq 0 ， b \geq 0)$ ．上述探究过程蕴含的思想方法是（）

A、特殊与一般 B、整体 C、转化 D、分类讨论

查看试题解析

8. 下框是缘缘与芳芳两位同学解方程3（x-3）＝（x-3）²的过程：

缘缘：

两边同除以（x-3）得：

3＝x-3，

解得：x＝6．

芳芳：

移项，得：3（x-3）-（x-3）²＝0，

提取公因式，得：（x-3）（3-x-3）＝0，

∴x-3＝0或3-x-3＝0，

解得：x₁＝3，x₂＝0．

下列判断正确的是（　　）

A、缘缘和芳芳都错 B、缘缘错，芳芳对 C、缘缘和芳芳都对 D、缘缘对，芳芳错

查看试题解析

9. 若关于x的一元二次方程（k-2）x²+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（　　）

A、 $k \leq \frac{7}{3}$ B、 $k > \frac{7}{3}$ C、k＜ $\frac{7}{3}$ 且k≠2 D、 $k \leq \frac{7}{3}$ 且k≠2

查看试题解析
10. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm² ，则点P运动的时间是（　　）

A、2s B、3s C、4s D、5s

查看试题解析

二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）

11. 计算 $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^{2}} + \sqrt{18}$ 的值是．

查看试题解析
12. 已知x＝ $\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，则x- $\frac{1}{x}$ ＝．

查看试题解析
13. 若根式 $\sqrt{2 x - 3}$ 与 $\sqrt{x + 1}$ 为同类最简二次根式，则 $\sqrt{x + 14}$ 等于．

查看试题解析
14. 若关于x的一元二次方程kx²-3x+2＝0有实数根．则k的取值范围是．

查看试题解析
15. 如图，在一个边长为 $8 c m$ 的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子的表面积是 $54 c m^{2}$ ，则小正方形的边长为 $c m$ ．

查看试题解析

三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 计算：

(1)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} + \sqrt{24}$ ；

(2)、 $\sqrt{8} - \frac{1}{8} \sqrt{48} -$ （ $\frac{2}{3} \sqrt{4 \frac{1}{2}} - 2 \sqrt{\frac{3}{4}}$ ）；

(3)、 $\sqrt{6} \div$ （ $\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{2}}$ ）+ $\sqrt{50}$ ；

(4)、（- $\frac{1}{2}$ ）- $\sqrt{12}$ +（1- $\sqrt{2}$ ）⁰-| $\sqrt{3}$ -2|．

查看试题解析
17. 解方程：

(1)、5x（x-3）＝2（x-3）；（因式分解法）

(2)、x²-4x+5＝0；（公式法）

(3)、x²-2x-4＝0；（配方法）

(4)、4（x²-x）＝-1．（适当方法）

查看试题解析
18. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $| a - \sqrt{8} | + \sqrt{b - 5} + {(c - \sqrt{18})}^{2} = 0$

(1)、求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

(2)、以 $a$ ， $b$ ， $c$ 为边能否构成直角三角形？请说明理由．

查看试题解析
19. 已知关于x的方程kx²-2x-1＝0有两个不相等的实数根，

(1)、求k的取值范围；

(2)、若方程的一个根是-1，求方程的另一个根及k的值．

查看试题解析
20. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶 $40$ 元，售价为每顶 $68$ 元，平均每周可售出 $100$ 顶 $．$ 商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于 $58$ 元，经调查发现：每降价 $2$ 元，平均每周可多售出 $40$ 顶 $．$ 设每顶头盔降价 $x$ 元，平均每周的销售量为 $y$ 顶．

(1)、平均每周的销售量 $y ($ 顶 $)$ 与降价 $x ($ 元 $)$ 之间的函数关系式是；

(2)、若售价为每顶 $50$ 元，求每周的销售利润；

(3)、若该商店希望平均每周获得 $4000$ 元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？

查看试题解析

21. 阅读与思考

互为有理化的一对无理根的一元二次方程

我们知道，在一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0，a ， b ， c是有理数）中，当Δ＞0时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为x₁＝ $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ，x₂＝ $\frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ．若 $\sqrt{b^{2} - 4 a c}$ 是一个无理数，则x₁ ， x₂也都是无理数，我们把x₁和x₂这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根．

例如：一元二次方程x²-3x+1＝0的两根为 $x_{1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ ，x₂＝____，它们就是互为有理化的一对无理根．

又如：方程x²＝7的两根 $x_{1} = \sqrt{7}$ ， $x_{2} = - \sqrt{7}$ 也是互为有理化的一对无理根．

判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件：

①x₁和x₂是两个无理数；②x₁•x₂是一个有理数．

如： $x_{1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ ， $x_{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ 是无理数，

且 $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \times \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ ＝____．

∴x₁ ， x₂是互为有理化的一对无理根．

显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为 $- \frac{b}{a}$ ，积为 $\frac{c}{a}$ ．

任务：

(1)、填空：材料中的x₂＝， x₁•x₂ ＝．

(2)、求一元二次方程x²-x-5＝0的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．

(3)、若方程x²+px+q＝0的两根为互为有理化的一对无理根，且一根为

1 + \sqrt{3}

，直接写出方程x²+px+q＝0的另一根及p ， q的值．

查看试题解析

22. 如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．

(1)、当t为何值时，△PDQ的面积为6cm²？

(2)、是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
23. 阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 $\sqrt{2} = 1 + 2 + 2 \sqrt{2} = 1^{2} + 2 \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2}$ ．继续进行以下的探索：设a+b $\sqrt{2} = {(m + n \sqrt{2})}^{2}$ （其中a ， b ， m ， n都是正整数），则有a+b $\sqrt{2} = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2}$ ．∴a＝m²+2n² ， b＝2mn ，这样就得出了把类似a+b $\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：

(1)、当a ， b ， m ， n都是正整数时，若a-b $\sqrt{5} = {(m - n \sqrt{5})}^{2}$ ，用含m ， n的式子分别表示a ， b ，得a＝， b＝；

(2)、利用上述方法，填空：21-4 $\sqrt{5}$ ＝（- $\sqrt{5}$ ）²；

(3)、如果a-6 $\sqrt{5} = {(m - n \sqrt{5})}^{2}$ ，且a ， m ， n都是正整数，求a的值．

查看试题解析