期中微专题提分精炼：一元二次方程的根与系数的关系-2023-2024学年北师大版九年级（上）数学

试卷更新日期：2023-10-31 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ 的两根，则 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的值是（）

A、3 B、-3 C、5 D、-5

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2. 已知 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的值为（）

A、2 B、－2 C、3 D、－3

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3. 若 $x = 1$ 是方程 $x^{2} + m x + 3 = 0$ 的一个根，则方程的另一个根是（）

A、3 B、4 C、-3 D、－4

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4. 已知一元二次方程 $x^{2} + k x + 3 = 0$ 有一个根为3，则 $k$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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5. 下列关于 $x$ 的一元二次方程中，两根之和为5的是（）

A、 $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ B、 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ C、 $x^{2} - 5 x + 14 = 0$ D、 $x^{2} + 5 x - 14 = 0$

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6. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - x - 10 = 0$ 的两个实根，则 ${x_{1}}^{3} - 10 x_{1} + x_{2}$ 的值为（）

A、9 B、10 C、11 D、21

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7. 直角三角形两直角边是方程 $x^{2} - 8 x + 14 = 0$ 的两根，则它的斜边为（）

A、8 B、7 C、6 D、 $2 \sqrt{7}$

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8. 已知m、n是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ 的两个根，则 $m^{2} + m n + 3 m + n$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- 5$

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9. 已知 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的实数根，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} \cdot x_{2}$ 的值为（）

A、2 B、 $- 1$ C、1 D、 $- 2$

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10. 如果m、n是一元二次方程x²+x＝4的两个实数根，那么多项式2n²-mn-2m的值是（　　）

A、16 B、14 C、10 D、6

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二、填空题

11. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的两根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ .

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12. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 的两个解分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，则 $\frac{1}{2} x_{1} + \frac{1}{2} x_{2} =$ .

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13. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ ．

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14. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根，则 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ ．

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15. 已知实数a，b满足a²-a-2022=0， b²-b-2022=0(a≠b)，则2022a+2022b=

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三、计算题

16. 已知 $a$ 、 $b$ 满足 $a^{2} - 15 a - 5 = 0$ ， $b^{2} - 15 b - 5 = 0$ ，求 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值．

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17. 先化简，再求值： $\frac{b^{2} - a^{2}}{a^{2} - a b} \div (a + \frac{2 a b + b^{2}}{a}) \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ ，其中a，b是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个根.

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18. $a, b$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x - 15 = 0$ 的两个实数根，求代数式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ， $a^{2} b + a b^{2}$ 的值.

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19. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不等实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .

(1)、求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若方程两实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} = - x_{1} \cdot x_{2}$ ，求 $k$ 的值。

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四、解答题

20. 已知关于x的一元二次方程 $m x^{2} - (m + 2) x + \frac{m}{4} = 0$ 两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4 m$ ，求m的值．

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21. 关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）＝m有两个不相等的实数根x₁ ， x₂ ，求m的取值范围；若x₁ ， x₂满足等式x₁x₂－x₁－x₂＋1＝0，求m的值．

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22. 已知关于x的一元二次方程x²＋（2m﹣3）x＋m²＝0的两个不相等的实数根α，β满足 $\frac{1}{a}$ ＋ $\frac{1}{β}$ ＝1，求m的值．

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23. 等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程x²﹣10x+m＝0的两根，求m的值.

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24. 已知方程 $5 x^{2} + k x - 6 = 0$ 的一根是2，求它的另一根及k的值．

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五、综合题

25. 已知方程 $2 x^{2} - k x - 6 = 0$ 的一个根为 $x_{1} = - 2$ .

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、设方程的另一个根为 $x_{2}$ ，求 ${x_{1}}^{2} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot {x_{2}}^{2}$ 的值.

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26. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、方程的两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 5$ ，求实数m的值．

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27. 关于x的一元二次方程x²+mx+m-2＝0.

(1)、若-2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；

(2)、求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

(3)、设该方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，若x₁²+x₂²+m（x₁+x₂）＝m²+1，求m的值.

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28. 已知关于x的方程 $x^{2} + a x + a - 2 = 0$

(1)、当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；

(2)、求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

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29. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 k x + 3 k^{2} = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若此方程的两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $(x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 20$ ，求k的值．

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