期中微专题提分精炼：用因式分解法求解一元二次方程-2023-2024学年北师大版九年级（上）数学

试卷更新日期：2023-10-31 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 方程 $x^{2} = 2 x$ 的解是（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 0$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 2$ D、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 2$

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2. 方程 $(x + 1) (x - 2) = 0$ 的两根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别是（）

A、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 2$ C、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 2$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 2$

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3. 一元二次方程 $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ ，下列分解正确的是（）

A、 $(x + 1) (x - 6) = 0$ B、 $(x - 1) (x + 6) = 0$ C、 $(x - 2) (x + 3) = 0$ D、 $(x + 2) (x - 3) = 0$

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4. 等腰三角形的两边的长是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 两个根，则此三角形的周长是（）

A、7 B、8 C、7或8 D、以上都不对

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5. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x²-9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）

A、12 B、9 C、15 D、12或15

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6. 一个三角形的两边长为3和6，第三边边长是方程（x-2）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长为（）

A、11 B、13 C、11或13 D、11和13

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7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的两根分别为 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 3$ ，则原方程可化为（）

A、 $(x - 2) (x - 3) = 0$ B、 $(x + 2) (x + 3) = 0$ C、 $(x - 2) (x + 3) = 0$ D、 $(x + 2) (x - 3) = 0$

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8. 已知一个直角三角形的两边长是方程 $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ 的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（）

A、3 B、 $\sqrt{41}$ C、3或 $\sqrt{41}$ D、5或 $\sqrt{41}$

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9. 用因式分解法把方程 $5 y (y - 3) = 3 - y$ 分解成两个一次方程，正确的是（）

A、 $y - 3 = 0 ， 5 y - 1 = 0$ B、 $5 y = 0 ， y - 3 = 0$ C、 $5 y + 1 = 0 ， y - 3 = 0$ D、 $5 y = 1 ， y - 3 = 3 - y$

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10. 一元二次方程x²﹣10x+21＝0的两根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（）

A、13 B、17 C、13或17 D、不能确定

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二、填空题

11. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ 的两根，则该等腰三角形的周长为.

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12. 一元二次方程x²﹣7x＝0的较大根为．

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13. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 的较小实数根是．

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14. 已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程 $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ 的根，则这个三角形的周长为．

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15. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x²-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为

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三、计算题

16. 按指定的方法解下列方程：

(1)、 $x^{2} = 8 x + 9$ （配方法）；

(2)、 $2 y^{2} + 7 y + 3 = 0$ （公式法）；

(3)、 ${(x + 2)}^{2} = 3 x + 6$ （因式分解法）．

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四、解答题

17. x为何值时，两个代数式x²+1，4x+1的值相等？

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18. 用两种不同方法解方程：x²-3-2x=0

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19. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x - (2 m - 1) = 0$ 有实数根，且 $m$ 为非正整数．求 $m$ 的值及此时方程的根．

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20. 爱棣与爱国两位同学解方程3（x-3）=（x-3）²的过程如下框：

爱棣：

两边同除以（x-3），

得3=x-3，

则x=6．

爱国；

移项，得3（x-3）-（x-3）²=0，

提取公因式，得（x-3）（3-x-3）=0

则x-3=0或3-x-3=0，

解得x₁=3，x₂=0，

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×"，并写出你的解答过程，

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21. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} - 6 x + m^{2} - 3 m + 2 = 0$ 的常数项为0，求 $m$ 的值．

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22. 阅读下面的例题：解方程 $x^{2} - | x | - 2 = 0$
解：当x≥0时，原方程化为x²－x－2＝0，解得：x₁＝2，x₂＝－1（不合题意，舍去）；

当x＜0时，原方程化为x²＋ x－2＝0，解得：x₁＝1，（不合题意，舍去）x₂＝－2；

∴原方程的根是x₁＝2，x₂＝－2.

请参照例题解方程 $x^{2} - | x - 1 | - 1 = 0$ .

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五、综合题

23. 按题目要求解答问题.

(1)、用适当的方法解方程： $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ ；

(2)、已知x是方程 $x^{2} + 3 x = 0$ 的根，求代数式 $(\frac{1}{x - 1} + 1) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ 的值.

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24. 若关于x的方程mx²-2x+3＝0有两个实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、方程有两个相等的实数根时，求出方程的根.

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25. 已知关于x的方程 $x^{2} - (k + 2) x + 2 k = 0$

(1)、求证：无论k取何值，该方程总有实数根；

(2)、若等腰 $△ A B C$ 的一边长 $a = 1$ ，另两边b、c恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长.

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26. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 $2$ 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根是 $2$ 和 $4$ ，则方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 就是“倍根方程”．

(1)、若一元二次方程 $x^{2} - 3 x + c = 0$ 是“倍根方程”，则c＝．

(2)、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 是“倍根方程”，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 之间的关系为．

(3)、若 $(x - 2) (m x - n) = 0 (m \neq 0)$ 是“倍根方程”，求代数式 $4 m^{2} - 5 m n + n^{2}$ 的值．

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