期中微专题提分精炼：用公式法求解一元二次方程-2023-2024学年北师大版九年级（上）数学

试卷更新日期：2023-10-31 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则（）

A、 $Δ = 0$ B、 $Δ < 0$ C、 $Δ > 0$ D、与 $Δ$ 的取值无关

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2. 关于x的方程3x²-2x+1=0的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、不能确定

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3. 若关于x的方程x²+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（）

A、4 B、-4 C、16 D、-16

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4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0 ， b^{2} - 4 a c > 0)$ 的根是（）

A、 $\frac{b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ B、 $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ C、 $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2}$ D、 $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

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5. 若方程 $m x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 1$ B、 $m \leq 1$ 且 $m \neq 0$ C、 $m ＜ 1$ D、 $m ＜ 1$ 且 $m \neq 0$

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6. 已知点 $A (a ， b)$ 在第四象限，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x - 2 = 0$ 的根的情况是（）．

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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7. 若a，b，c是△ABC的三边长，则关于x的方程 $x^{2} - (a + b) x + \frac{1}{4} c^{2} = 0$ 的根的情况是（　　）

A、无实数根 B、有两相等的实数根 C、有两不相等的实数根 D、无法确定

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8. 关于一元二次方程 $x^{2} + k x - 9 = 0$ （k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（　　）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、不能确定根的情况

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9. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 3) x + 3 m = 0$ ，若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，则m的值为（　　）

A、3 B、4 C、3或4 D、不能确定

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10. 直线 $y = x - a$ 不经过第二象限，且关于x的方程 $a x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数解，则a的取值范围是（）

A、0≤a≤1 B、o≤a<1 C、0<a≤1 D、0<a<1

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二、填空题

11. 一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 根的情况为.

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12. 若关于x的方程x²-2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．

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13. 方程 $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 有个实数根.

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14. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + 2 k + 1 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是 .

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15. 已知关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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三、计算题

16. 解方程： $x^{2} + 2 x - 3 = 0 ($ 公式法 $)$

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17. 公式法解一元二次方程：2x²﹣4x﹣1＝0.

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18. 解下列方程．

(1)、 $x^{2} + 10 x - 2 = 0$ （配方法）

(2)、3x²﹣6x﹣2＝0（公式法）

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19. 根据要求解下列方程：

(1)、 $x^{2} + 4 x + 8 = 2 x + 10$ （公式法）；

(2)、 $2 x^{2} + 8 x - 6 = 0$ （配方法）．

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20. 按要求解方程.

(1)、 $x^{2} - 6 x - 5 = 4$ （配方法）

(2)、 $2 x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 1 = 0$ （公式法）

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四、解答题

21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - m x + m - 1 = 0$ ．求证：方程总有两个实数根．

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22. 已知关于x的方程 $x^{2} + k x + k - 3 = 0$ ，求证：不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

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23. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0 (a \neq 0)$ 有两个相等的实数根，求 $\frac{a b^{2}}{{(a + 2)}^{2} - b^{2} - 4}$ 的值．

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24. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - (n - 1) = 0$ 有两个实数根，求 $n$ 的取值范围．

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25. 如果关于 $x$ 的方程 $m x^{2} - 2 (m + 2) x + m + 5 = 0$ 没有实数根，试判断关于 $x$ 的方程 $(m - 5) x^{2} - 2 (m - 1) x + m = 0$ 的根的情况.

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五、综合题

26. 已知关于x的一元二次方程 $m x^{2} + (2 m - 1) x + m - 4 = 0$ ．

(1)、当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？

(2)、当 $m = 2$ 时，用合适的方法求此时该方程的解．

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27. 已知关于x的方程 $x^{2} - (m - 3) x + m - 4 = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围．

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28. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} + (m - 3) x - 3 = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程的两个根均为整数，求正整数 $m$ 的值．

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29. 已知关于x的一元二次方程 $(k - 2) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有两个实数根．

(1)、求k的取值范围；

(2)、k取最大整数时求方程的根．

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30. 如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtΔABC和 RtΔBED 的边长，已知 $A E = \sqrt{2} c$ ，这时我们把关于 x 的形如 $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：

(1)、写出一个“勾系一元二次方程”；

(2)、求证：关于 x 的“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ ，必有实数根；

(3)、若 x = -1是“勾系一元二次方程” $a x^{2} + \sqrt{2} c x + b = 0$ 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6 $\sqrt{2}$ ，求ΔABC 的面积．

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