期中微专题提分精炼：用配方法解一元二次方程-2023-2024学年北师大版九年级（上）数学

试卷更新日期：2023-10-31 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 用配方法解方程 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ 时，原方程应变形为（　　）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 6$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 9$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 9$

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2. 用配方法将方程 x²- 4x-2= 0 变形为（x- 2）²=m 的过程中， m的值是（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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3. 将一元二次方程2x²﹣6x+1＝0配方，得（x+h）²＝k，则h、k的值分别为（）

A、3、8 B、﹣3、8 C、 $\frac{3}{2}$ 、 $\frac{7}{4}$ D、 $- \frac{3}{2}$ 、 $\frac{7}{4}$

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4. 已知方程 $x^{2} - 6 x + 4 = □$ ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成 ${(x - p)}^{2} = 7$ 的形式，则印刷不清楚的数字是（）

A、6 B、9 C、2 D、-2

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5. 将一元二次方程 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 变形为 $(x + m)^{2} = k$ 的形式，正确的是（）

A、 $(x + 2)^{2} = 1$ B、 $(x + 2)^{2} = 3$ C、 $(x + 2)^{2} = 4$ D、 $(x + 2)^{2} = 5$

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6. 一元二次方程 $x^{2} + 6 x + 4 = 0$ 可以转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为 $x + 3 = \sqrt{5}$ ，则另一个一元一次方程为（）

A、 $x - 3 = \sqrt{5}$ B、 $x + 3 = 5$ C、 $x + 3 = - \sqrt{5}$ D、 $x + 3 = - 5$

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7. 慧慧将方程2x²+4x﹣7＝0通过配方转化为（x+n）²＝p的形式，则p的值为（）

A、7 B、8 C、3.5 D、4.5

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8. 在解方程 $2 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是（）

小思：

$2 x^{2} + 4 x = - 1$

$x^{2} + 2 x = - \frac{1}{2}$

$x^{2} + 2 x + 1 = - \frac{1}{2} + 1$

${(x + 1)}^{2} = \frac{1}{2}$

小博

$2 x^{2} + 4 x = - 1$

$4 x^{2} + 8 x = - 2$

$4 x^{2} + 8 x + 4 = - 2 + 4$

${(2 x + 2)}^{2} = 2$

A、两人都正确 B、小思正确，小博不正确 C、小思不正确，小博正确 D、两人都不正确

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9. 对于两个实数a，b，用 $max (a ， b)$ 表示其中较大的数，则方程 $x \times max (x ， - x) = 2 x + 1$ 的解是（）

A、 $1$ ， $1 + \sqrt{2}$ B、 $1$ ， $1 - \sqrt{2}$ C、 $- 1$ ， $1 + \sqrt{2}$ D、 $- 1$ ， $1 - \sqrt{2}$

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10. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）．

A、x²-2x-99=0化为(x-1)²=100 B、x²+8x+9=0化为(x+4)²=25 C、2t²-7t-4=0化为 ${(t - \frac{7}{4})}^{2} = \frac{81}{16}$ D、3y²-4y-2=0化为 ${(y - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{10}{9}$

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二、填空题

11. 将方程 $x^{2} + 6 x - 3 = 0$ 化为 ${(x + h)}^{2} = k$ 的形式是.

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12. 方程x²﹣6x+9=0的解是．

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13. 将方程 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 化为 $(x + a)^{2} = b$ 的形式，则 $a + b$ 的值为．

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14. 已知点P是线段 $A B$ 上的一点，如果 $A P^{2} = B P \cdot A B$ ，且 $A P = 2$ ，那么 $B P =$ ．

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15. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x = 5$ 时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．

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三、计算题

16. 用配方法解方程：x²﹣4x﹣3＝0．

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17. 用配方法解方程： $x^{2} - 2 x = 4$ ．

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18. 用配方法解一元二次方程： $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ .

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四、解答题

19. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x})$ ÷ $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} - x}$ ，其中x是方程x²+4x+1＝0的根．

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20. 请用配方法解关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．

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五、综合题

21. 下面是小勇解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解∶2x²＋4x-6=0

二次项系数化为1，得x²+2x-3=0．……………………… 第一步

移项，得x²+2x=3．…………………………………… ……第二步

配方，得x²+2x+4=3+4．即（x+2）²=7．…………… ………第三步

由此，可得x+2=± $\sqrt{7}$ ． ………………………………… 第四步

x₁=2＋ $\sqrt{7}$ ，x₂=2- $\sqrt{7}$ ．……………………………………第五步

任务∶

(1)、上面小勇同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元—次方程，体现的数学思想是；其中配方法依据的一个数学公式是；

(2)、“第二步”变形的依据；

(3)、上面小勇同学的解题过程中，从第 ▲ 步开始出现错误，写出正确的解答过程．

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22. 阅读解关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的过程，解答下列问题：

解：两边同乘以4a ，得4a²x²+4abx+4ac＝0．……第一步

移项，得4a²x²+4abx＝﹣4ac ． ……第二步

配方，得4a²x²+4abx+b²＝b²﹣4ac ． ……第三步

（2ax+b）²＝b²﹣4ac ． ……第四步

两边开平方，得 $2 a x + b = \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}$ ……第五步

$2 a x = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}$ ．……第六步

所以， $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} ， x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ．……第七步

(1)、第一步变形的依据是；

(2)、从第步开始出现错误，错误的原因是；

(3)、采用上述解方程的思路，求3x²﹣4x﹣2＝0的根．

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23. 嘉琪准备完成题目：解一元二次方程 $x^{2} - 6 x + = 0$ ．

(1)、若“ ”表示常数 $- 7$ ，请你用配方法解方程： $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ ；

(2)、若“ ”表示一个字母，且一元二次方程 $x^{2} - 6 x + = 0$ 有实数根．求“ ”的最大值．

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24. 根据要求，解答下列问题．

(1)、根据要求，解答下列问题．
①方程x²－2x＋1＝0的解为；

②方程x²－3x＋2＝0的解为；

③方程x²－4x＋3＝0的解为；

…… ……

(2)、根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x²－9x＋8＝0的解为；

②关于x的方程的解为x₁＝1，x₂＝n．

(3)、请用配方法解方程x²－9x＋8＝0，以验证猜想结论的符合题意性．

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