云南省重点大学附中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2023-10-31 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、明天太阳从西边出来 B、打开电视，正在播放 $《$ 云南新闻 $》$ C、昆明是云南的省会 D、小明跑完 $800$ 米所用的时间恰好为 $1$ 分钟

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2. 如图曲线中不能表示 $y$ 是 $x$ 的函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 某校九年级进行了 $3$ 次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差 $S^{2}$ 如表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（）

甲
乙
丙
          $\bar{x}$
          $91$
          $91$
          $91$
          $S^{2}$
          $6$
          $24$
          $54$

A、甲 B、乙 C、丙 D、无法确定

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4. 一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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5. 抛物线 $y = 2 (x - 1)^{2} - 3$ 的顶点、对称轴分别是（）

A、 $(- 1 ， - 3)$ ， $x = - 1$ B、 $(1 ， - 3)$ ， $x = - 1$ C、 $(1 ， - 3)$ ， $x = 1$ D、 $(- 1 ， - 3)$ ， $x = 1$

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6. 某种商品原价是 $100$ 元，经两次降价后的价格是 $81$ 元，设平均每次降价的百率为 $x$ ，可列方程为（）

A、 $100 x (1 - 2 x) = 81$ B、 $100 (1 + 2 x) = 81$ C、 $100 (1 - x)^{2} = 81$ D、 $100 (1 + x)^{2} = 81$

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7. 将抛物线 $y = (x - 1)^{2}$ 先向右平移 $2$ 个单位长度，再向上平移 $1$ 个单位长度所得到的抛物线的解析式为（）

A、 $y = (x - 3)^{2} + 1$ B、 $y = (x + 1)^{2} + 1$ C、 $y = (x - 3)^{2} - 1$ D、 $y = x^{2} - 2$

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8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < \frac{1}{3}$ B、 $k > - \frac{1}{3}$ C、 $k > - \frac{1}{3}$ 且 $k \neq 0$ D、 $k < \frac{1}{3}$ 且 $k \neq 0$

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，其对称轴为直线 $x = 1$ ，下面结论中正确的是（）

A、 $a b c > 0$ B、 $2 a - b = 0$ C、 $4 a + 2 b + c < 0$ D、 $9 a + 3 b + c = 0$

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10. 如图，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 的坐标为 $(0 ， - 1)$ ，在第四象限抛物线上有一点 $P$ ，若 $△ P C D$ 是以 $C D$ 为底边的等腰三角形，则点 $P$ 的横坐标为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $1 - \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $1 - \sqrt{2}$ 或 $1 + \sqrt{2}$

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二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

11. 某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以每 $1000$ 张奖券为一个开奖单位，设 $5$ 个一等奖， $15$ 个二等奖，不设其他奖项，则只抽 $1$ 张奖券恰好中奖的概率是．

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12. 如图，若圆柱的底面周长是 $50 c m$ ，高是 $120 c m$ ，从圆柱底部 $A$ 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 $B$ 处，则这条丝线的最小长度是．

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13. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} =$ ．

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14. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给个人.

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15. 已知开口向上的抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 3$ ，在此抛物线上有 $A (- \frac{1}{2} ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ 和 $C (3 ， y_{3})$ 三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 和 $y_{3}$ 的大小关系为．

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16. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $O A = O C .$ 则下列结论： $① b c < 0$ ； $② b^{2} - 4 a c = 0$ ； $③ a c - b + 1 = 0$ ； $④ O A \cdot O B = - \frac{c}{a}$ ；其中正确结论的序号是．

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三、解答题（本大题共8小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解方程：

(1)、 $4 (x + 1)^{2} = \frac{1}{4} ($ 直接开平方法 $)$ ；

(2)、 $x^{2} + 4 x + 2 = 0 ($ 配方法 $)$ ；

(3)、 $x (x - 2) = 2 - x ($ 因式分解法 $)$ ；

(4)、 $8 x^{2} + 10 x = 3 ($ 公式法 $)$ ．

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18. 如图，点C是 $B E$ 的中点，四边形 $A B C D$ 是平行四边形.

(1)、求证：四边形 $A C E D$ 是平行四边形；

(2)、如果 $A B = A E$ ，求证：四边形 $A C E D$ 是矩形.

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19. 将正面分别写着数字 $1$ ， $2$ ， $3$ 的三张卡片 $($ 注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别 $)$ 洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 $x$ ，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 $y$ ．

(1)、用列表法或树状图法 $($ 树状图也称树形图 $)$ 中的一种方法，写出 $(x ， y)$ 所有可能出现的结果．

(2)、求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率 $P$ ．

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20. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + 16 = 0$

(1)、若这个方程有两个相等的实数根，求 $a$ 的值；

(2)、若这个方程有一个根是 $2$ ，求 $a$ 的值及另外一个根．

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21. 如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 $2$ ： $1 .$ 在温室内，沿前侧内墙保留 $3 m$ 宽的空地，其它三侧内墙各保留 $1 m$ 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 $288 m^{2}$ ？

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22. 已知二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 4$ ．

(1)、将其配方成 $y = a (x - k)^{2} + h$ 的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；

(2)、在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当 $y < 0$ 时 $x$ 的取值范围；

(3)、当 $0 \leq x \leq 4$ 时，求出 $y$ 的最小值及最大值．

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23. 某超市经销一种商品，每千克成本为

50

元，经试销发现，该种商品的每天销售量

y (

千克

)

与销售单价

x (

元

/

千克

)

满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价 $x ($ 元 $/$ 千克 $)$	$55$	$60$	$65$	$70$
销售量 $y ($ 千克 $)$	$70$	$60$	$50$	$40$

(1)、求

y (

千克

)

与

x (

元

/

千克

)

之间的函数表达式；

(2)、为保证某天获得

600

元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

(3)、当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - x + 5$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ 、 $B$ ，抛物线经过 $A$ 、 $B$ 两点，且对称轴为直线 $x = 3$ .

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如果点 $Q$ 是这抛物线上位于 $x$ 轴下方的一点，且△ $A B Q$ 的面积是 $10$ .求点 $Q$ 的坐标.

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	甲	乙	丙
$\bar{x}$	$91$	$91$	$91$
$S^{2}$	$6$	$24$	$54$