【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之相似三角形的判定与性质

试卷更新日期：2023-10-30 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E G ∥ B D$ ， $F G ∥ A C$ ，下列结论一定正确的是（）

A、 $\frac{A B}{A E} = \frac{A G}{A D}$ B、 $\frac{D F}{C F} = \frac{D G}{A D}$ C、 $\frac{F G}{A C} = \frac{E G}{B D}$ D、 $\frac{A E}{B E} = \frac{C F}{D F}$

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2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若 $\frac{A D}{D B} = \frac{1}{2}$ ，则△ADE与△ABC的面积之比为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{9}$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别在 $A B ， A C$ 上， $∠ A D E = ∠ C$ ，如果 $A E = 2 ， A B = 5$ ，那么 $D E ： B C =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{7}$

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4. 如图， $D E ∥ B C$ ，且 $A D ： D B = 2 ： 1$ ， $D E = 8$ ， $B C$ 的长为（）

A、10 B、9 C、14 D、12

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5. 如图，线段 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ， $A C ∥ B D$ ，若 $O A = 6$ ， $O C = 3$ ， $O D = 2$ ，则 $O B$ 的长是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 如图， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 位似，点O为位似中心.已知 $O A ： O A^{'} = 1 ： 3$ ， $△ A B C$ 的周长为4，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的周长为（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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7. $R t △ A B C$ 中 $∠ B A C = 90 °$ 过点A作 $B C$ 垂线 $A D$ ，将三角形面积分为 $4 ： 9$ 两部分，求 $\frac{A D}{B C}$ 的值（）

A、十三分之六 B、九分之五 C、五分之二 D、十二分之七

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8. 如图， $R t △ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点D是AB的中点，连接CD，过点B作 $B G ⊥ C D$ ，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，下列结论正确的是（）

A、 $E F = G F$ B、 $∠ A D F = ∠ C D B$ C、 $A F = \frac{\sqrt{2}}{2}$ AB D、 $S_{△ A B C} = 5 S_{△ B D F}$

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二、填空题

9. 如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则点C的坐标是

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10. 如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为m．

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11. 如图，线段 $A B = 8$ ， $P$ 为 $A B$ 的中点，射线 $A M ⊥ A B$ 于点 $A$ ， $B N ⊥ A B$ 于点 $B$ ， $C$ ， $D$ 分别是射线 $A M$ ， $B N$ 上的动点，且满足 $C P ⊥ P D$ .
⑴ $A C \cdot B D$ 的值为；
⑵长为1的线段 $E F$ 在射线 $A M$ 上，且 $A E = 3$ ，若动点 $C$ 在线段 $E F$ 上时（包括端点），则 $△ P C D$ 就会发光，写出此时 $B D$ 的一个整数值：.（答案不唯一）

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12. 如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE=°(点A ， B ， C ， D ， E是网格线交点).

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13. 如图，小明借助太阳光线测量树高.在早上8时小明测得树的影长为 $2 m$ ，下午3时又测得该树的影长为 $8 m$ ，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为 $m$ .

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三、解答题

14. 如图， $D$ 为 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的一点， $∠ C A D = ∠ B$ ，若 $A D = 4$ ， $A B = 8$ ， $A C = 6$ ，求 $D C$ 的长．

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15. 如图，已知 $\frac{A B}{A E} = \frac{A C}{A D}$ ．求证： $D E / / B C$ ．

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16. 如图，为了测量池塘的宽 $D E$ ，在岸边找到点 $C$ ，测得 $C D = 50 m$ ，在 $D C$ 的延长线上找一点 $A$ ，测得 $A C = 5 m$ ，过点 $A$ 作 $A B // D E$ 交 $E C$ 的延长线于 $B$ ，测出 $A B = 6 m$ ，则池塘的宽 $D E$ 为多少 $m$ ?

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $A B$ 上一点.

(1)、当 $∠ A C D = ∠ B$ 时，
①求证： $△ A B C ∽ △ A C D$ ；
②若 $A D = 1$ ， $B D = 3$ ，求 $A C$ 的长；

(2)、已知 $A B = \sqrt{2} A C = 2 A D$ ，若 $C D = 2$ ，求 $B C$ 的长.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中，已知 $∠ B = ∠ D$ ， $∠ B A D = ∠ C A E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ A D E$ ．

(2)、若 $S_{△ A B C} ： S_{△ A D E} = 4 ： 9 ， B C = 6$ S，求 $D E$ 的长．

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19. 如图， $E$ 为 $A D$ 上一点，若 $∠ D A C = ∠ B$ ， $C D = C E$ ，求证： $C D \cdot B D = A D \cdot A E$ ．

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四、综合题

20. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连结DE， ∠ADE= ∠ACB.

(1)、求证：△ADE∽△ACB.

(2)、如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长.

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21. 如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．

(1)、求证：△AEB∽△CED；

(2)、若AB=2，BC=4，AE=1，求CE长．

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22. 已知：如图， $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $D$ 为 $B C$ 边上一点， $B D = 1$ ．

(1)、求证： $△ A B D ∽ △ C B A$ ．

(2)、若 $D E ∥ A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，请再写出另一个与 $△ A B D$ 相似的三角形，并直接写出 $D E$ 长．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点D，点E在 $A B$ 上（不与点A，B重合），连接 $C E$ 交 $A D$ 于点F， $∠ C F D = ∠ B$ .

(1)、求证： $△ C F D ∽ △ C B E$ .

(2)、若 $B E = 6$ ， $B D = 8$ ， $D C = 2$ ，求 $D F$ 的长.

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24. 如图，P为AB上一点，∠A=∠CPD=∠B，连接CD.

(1)、求证：△ACP∽△BPD

(2)、若AP=3，AB=9，AC=8，求BD的长.

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25. 如图，已知 $∠ B A C = ∠ E A F$ ， $∠ A B E = ∠ A C F$ ，若B，E，F三点共线，线段 $E F$ 与 $A C$ 交于点O.

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ A C F$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $C F = 4$ ， $△ A O B$ 的面积为9，求 $△ C O F$ 的面积.

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26. 如图

(1)、模型建立：如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC²=AD·AB；

(2)、类比探究：如图2，在菱形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D ，$ 射线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N.
①求证：. FA²=FC · FM

②若AF=4，CF=2，AM=10，求FN的长.

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