北师大版数学九（上）期中题型汇编14 解答题—反比例函数

试卷更新日期：2023-10-29 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 已知反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象经过点 $A (2 ， m)$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、当 $x \leq 1$ 且 $x \neq 0$ 时，直接写出 $y$ 的取值范围．

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2. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图像交于 $P (2 ， a)$ 和 $Q (- 1 ， - 4)$ ；

(1)、求一次函数及反比例函数的表达式；

(2)、根据图像，直接写出关于x的不等式 $\frac{m}{x} > k x + b$ 的解集．

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3. 如图，直线 $y = a x + 6$ 经过点 $A (- 3 ， 0)$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $B (1 ， m)$ ．

(1)、求k的值；

(2)、点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作 $D C ⊥ y$ 轴交线段AB于点C，连接AD，求 $△ A C D$ 的面积的最大值．

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4. 已知：a，b，c三个数满足关系式 $2 a = 3 b = 4 c$ ．

(1)、填空： $a ： b ： c =$ ：4：．

(2)、若 $k = \frac{a^{2}}{a b - 2 c^{2}}$ ，试求出 $k$ 的值．

(3)、在（2）的基础上，若点 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上的任意一点，过点 $P$ 向 $y$ 轴引垂线，垂足为 $Q$ ，请直接写出 $△ O P Q$ 的面积．

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5. 如图，一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）与反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ （ $x ＞ 0$ ）的图象交于A $(m ， 6)$ ， B $(3 ， n)$ 两点．

(1)、求一次函数的解析式；

(2)、根据图象，直接写出使 $k x + b ＜ \frac{6}{x}$ 成立的 $x$ 的取值范围；

(3)、求 $△ A O B$ 的面积．

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6. 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：

(1)、分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；

(2)、求出图中a的值；

(3)、李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？

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7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y_{1} = k_{1} x + b$ 与双曲线 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 相交于 $A (- 2 ， 3) ， B (m ， - 2)$ 两点．

(1)、求 $y_{1} ， y_{2}$ 对应的函数表达式；

(2)、过点B作 $B P / / x$ 轴交y轴于点P，求 $△ A B P$ 的面积；

(3)、根据函数图象，直接写出关于x的不等式 $k_{1} x + b < \frac{k_{2}}{x}$ 的解集．

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8. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位： $m^{3}$ ）变化时，气体的密度 $ρ$ （单位： $k g / m^{}$ ）随之变化．已知密度 $ρ$ 与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当 $V = 5 m^{3}$ 时， $ρ = 1.98 k g / m^{3}$ ．

(1)、求密度 $ρ$ 关于体积V的函数解析式；

(2)、若 $3 \leq V \leq 9$ ，求二氧化碳密度 $ρ$ 的变化范围．

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $C (2 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 4)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点A．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、将直线 $O A$ 向上平移m个单位后经过反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上的点 $(3 ， n)$ ，求m的值．

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10. 如图，一次函数 $y = k x + 2$ 的图形与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点P，点P在第一象限， $P A ⊥ x$ 轴于点A，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且 $S_{△ C O D} = 1$ ， $\frac{C O}{O A} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求点D的坐标；

(2)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(3)、根据图象直接写出当 $x > 0$ 时，一次函数值大于等于反比例函数的值时x的取值范围．

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11. 王叔叔计划购买一套商品房，首付30万元后，剩余部分用贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，每月所还贷款本金数相同．设王叔叔每月偿还贷款本金y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示．

(1)、求y与x的函数关系式；

(2)、求王叔叔购买的商品房的总价；

(3)、若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2000元，则至少需要多少个月还清？

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12. 某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．

(1)、写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；

(2)、求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；

(3)、广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？

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13. 如图，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图像经过点A、 $B (- 1 ， 0)$ ，反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图像也经过点A，且点A横坐标是2．

(1)、求一次函数的解析式．

(2)、点C是x轴正半轴上的一点，连接 $A C$ ， $t a n ∠ A C B = \frac{3}{4}$ ，过点C作 $C E ⊥ x$ 轴分别交反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 和一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图像于点D、E，求点D、E的坐标．

(3)、在（2）的条件下，连接 $A D$ ，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图像上是否存在一点F使得 $△ E A D$ 和 $△ E C F$ 相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．

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14. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A (n ， 4)$ ， $B (2 ， 2)$ 两点．

(1)、求反比例函数及一次函数表达式；

(2)、若点P是直线 $A B$ 左侧x轴上一点，若 $△ A B P$ 面积为1，求P点的坐标；

(3)、过点A作直线 $A C$ ，与第三象限的反比例函数图象交于另一点C，连接 $B C$ ，当线段 $A C$ 被y轴分成长度比为 $1 ： 2$ 的两部分时，求 $B C$ 的长．

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15. 如图，在直角坐标中，矩形 $O A B C$ 的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为 $(2 ， 3)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 是的图象经过 $B C$ 的中点D，且与 $A B$ 交于点E，连接 $D E$ ．

(1)、求k的值及点E的坐标；

(2)、若点F是 $O C$ 边上一点，且 $△ F B C ∽ △ D E B$ ，求直线 $F B$ 的解析式．

(3)、若点P在y轴上，且 $△ O P D$ 的面积与四边形 $B D O E$ 的面积相等，求点P的坐标．

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16. 小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：

(1)、当 $0 \leq x \leq 10$ 时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；

(2)、求图中t的值；

(3)、若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？

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17. 如图，在平面直角坐标系中， $C (8 ， 0)$ 、 $B (0 ， 6)$ 是矩形 $A B O C$ 的两个顶点，点D是线段 $A B$ 上的一个动点(不与 $A 、 B$ 重合)，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ ( $k > 0$ )经过点D，与矩形 $A B O C$ 的边 $A C$ 相交于点E．

(1)、如图①，当点D为 $A B$ 中点时，k的值为，点E的坐标为；

(2)、如图②，当点D在线段 $A B$ 上的任意位置时(不与 $A 、 B$ 重合)，连接 $B C 、 D E$ ，求证： $B C ∥ D E$ ；

(3)、是否存在反比例函数上不同于点D的一点F，满足： $△ O D F$ 为直角三角形， $∠ O D F = 90 °$ ，且 $t a n ∠ D O F = \frac{1}{3}$ ，若存在，请直接写出满足以上条件时点D的横坐标，若不存在，请说明理由．

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