北师大版数学九（上）期中题型汇编11 解答题—特殊四边形

试卷更新日期：2023-10-29 类型：复习试卷

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一、解答题

1. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，两条对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O， $A B = 6 ， O A = 5$ ，求 $A D$ 与 $B D$ 的长．

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2. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $D E ⊥ A B ， D F ⊥ B C ， D E = D F$ ．求证： $▱ A B C D$ 是菱形．

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3. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点E是边 $A D$ 上一点，延长 $A B$ 至点F，使 $B F = A E$ ，连接 $B E ， C F$ ．求证： $∠ A E B = ∠ F$ ．

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E，F分别在边 $A B ， B C$ 上， $A F ⊥ D E$ ，且 $A F = D E$ ， $A F$ 与 $D E$ 相交于点G．求证：矩形 $A B C D$ 为正方形；

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5. 如图，矩形 $A B C D ≌$ 矩形 $A E C F$ ， $A F$ 与 $B C$ 相交于G， $E C$ 与 $A D$ 相交于H．请判断并证明四边形 $A G C H$ 的形状．

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6. 在 $▱ A B C D$ 中，E、F分别是边BC，AD的中点，AC是对角线，过点D作DP $∥$ AC，交BA的延长线于点P，∠P=90°．求证：四边形AECF是菱形．

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7. 如图， $E 、 F$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上的两点，且 $B E = D F$ ，求证： $△ A B E ≅ △ C D F$ ；

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二、综合题

8. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ .

(1)、以线段 $A B$ 为边求作菱形 $A B C D$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、若菱形 $A B C D$ 的面积为 $16 \sqrt{3}$ ，求 $A B$ 的长.

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9. 如图，矩形 $E F G H$ 的顶点E，G分别在菱形 $A B C D$ 的边 $A D$ ， $B C$ 上，顶点F，H在菱形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上．

(1)、求证： $B G = D E$ ；

(2)、若E为 $A D$ 中点， $F H = 2$ ，求菱形 $A B C D$ 的周长．

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10. 如图，P是正方形ABCD内一点，△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置．

(1)、旋转的角度是多少度？

(2)、若BP=3cm，求线段PE的长．

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11. 如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．

(1)、求证：四边形ABCD是矩形；

(2)、以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．

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12. 已知：如图，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 旋转一定角度得到 $△ E D C$ ，若 $∠ A C E = 2 ∠ A C B$ ．

(1)、求证： $△ A D C ≅ △ A B C$ ；

(2)、若 $A B = B C = 5$ ， $A C = 6$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，过点B、点C分别作BE∥CD，CE∥BD．

(1)、求证：四边形BECD是菱形；

(2)、若∠A=60°，AC= $\sqrt{3}$ ，求菱形BECD的面积.

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14. 如图， $O$ 为矩形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 的中点， $E F ⊥ A C$ 于点 $O$ ，交 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $A F$ ， $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 为菱形；

(2)、若 $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，求 $A E$ 的长．

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15. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O，分别过点C、点D作 $B D$ 、 $A C$ 的平行线交于点E，连接 $E O$ 交 $C D$ 于点F．

(1)、求证：四边形 $D E C O$ 是矩形；

(2)、若 $A C = 4$ ， $B D = 6$ ，求 $E F$ 的长．

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16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，E为AB上一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F，连接BF、DE．

(1)、若∠ABD＝40°，求∠CAD的度数；

(2)、求证：BF＝DE．

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17. 在菱形ABCD中，过点B作 $B E ⊥ C D$ 于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．

(1)、求证：四边形BFDE是矩形；

(2)、若BD＝2 $\sqrt{5}$ ， BE＝4，求BC的长．

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18. 如图，将矩形 $A B C D$ 绕着点 $C$ 按顺时针方向旋转得到矩形 $F E C G$ ，使点 $B$ 落在 $A D$ 边上的点 $E$ 处，连接 $B G$ 交 $C E$ 于点 $H$ ，连接 $B E$ ．

(1)、求证： $B E$ 平分 $∠ A E C$ ；

(2)、取 $B C$ 中点 $P$ ，连接 $P H$ ，求证： $P H / / C G$ ；

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19. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C ， B D$ 相交于点O，E，F分别是 $O A ， O C$ 的中点．

(1)、求证： $B E = D F$ ；

(2)、连接 $D E ， B F$ ，已知（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形 $D E B F$ 的形状，并证明你的结论．
条件①： $A C = 2 B D$ ；
条件②： $A B = B C$ ．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解容，按第一个解答计分）

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20. 如图，将一张矩形 $A B C D$ 的纸片沿 $B D$ 向上折叠，顶点C落在点E处， $B E$ 交 $A D$ 于F．

(1)、求证： $△ B D F$ 是等腰三角形；

(2)、过D作 $D G ∥ B E$ 交 $B C$ 于G，连接 $F G$ ，交 $B D$ 于O．
①判断四边形 $B F D G$ 的形状；
②若 $A B = 6$ ， $A D = 8$ ，求 $F G$ 的长．

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21. 如图，点 $M$ ， $N$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $C D$ 上，且 $∠ M A N = 45 °$ ，把 $△ A D N$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B E$ ．

(1)、求证： $△ A E M$ ≌ $△ A N M$ ．

(2)、若 $B M = 3$ ， $D N = 2$ ，求正方形 $A B C D$ 的边长．

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22. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．

(1)、如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．

(2)、如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．

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23. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为 $(6 ， 8)$ ， D是 $O A$ 的中点，点E在线段 $A B$ 上．

(1)、点D的坐标是；

(2)、求直线CD的解析式；

(3)、当 $△ C D E$ 的周长最小时，求点E的坐标．

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24. 如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使AE∥BC，连接AE.

(1)、求证：四边形ADCE是矩形；

(2)、①若AB＝17，BC＝16，则四边形ADCE的面积＝.

②若AB＝10，则BC＝时，四边形ADCE是正方形.

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25. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $B E ∥ A C$ 交 $D C$ 的延长线于点E， $B D = B E$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、若 $∠ A D B = 30 °$ ， $A C = 2$ ，求矩形 $A B C D$ 的面积．

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26. 如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 上的一点，延长 $B C$ 到 $F$ 使 $A E = C F$ ，连接 $D E$ 、 $D F$ .

(1)、能通过旋转 $△ D A E$ 得到 $△ D C F$ 吗？说明理由.

(2)、连接 $E F$ ，过 $D$ 作 $D M$ 垂直 $E F$ 于 $M$ ，交 $B C$ 于 $N$ ，若 $B N = 3$ ， $C N = 2$ ，求 $A E$ 的长.

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27. 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．

(1)、如图1，若AD＝2 $\sqrt{3}$ 、DE＝2，当 $∠ A D G ＝ 150 °$ 时，求AG的长；

(2)、如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE之间有何等量关系？并利用图2加以证明．

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28. 如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $A E F G$ 有公共点A，点B在线段 $D G$ 上，

(1)、求证： $△ A D G ≌ △ A B E$ ；

(2)、判断 $D G$ 与 $B E$ 的位置关系，并说明理由．

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29. 将矩形纸片 $A B C O$ 放在平面直角坐标系中，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (- 8 ， 0)$ ，点 $C (0 ， 6)$ ．现绕点O顺时针旋转矩形纸片 $A B C O$ ，得到新的矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ ，其中A，B，C的对应点分别为 $A^{'} ， B^{'} ， C^{'}$ ．当直线 $B C$ 与直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 有交点时，设交点为D．

(1)、在旋转过程中，判断线段 $C D$ 和 $C^{'} D$ 的数量关系，并以图①为例说明理由；

(2)、在旋转过程中，当点 $A^{'}$ 落在线段 $B C$ 上时（如图②），直接写出点 $A^{'}$ 的坐标；

(3)、在旋转过程中，若线段 $A^{'} O$ 恰好过线段 $B C$ 中点E时（如图③），求线段 $C D$ 的长；

(4)、在旋转过程中，当线段 $A^{'} O$ 与线段 $B C$ 的交点M恰好是线段 $B D$ 中点时（如图④），请直接写出点M和点D的坐标．

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30. 正方形ABCD中，将边AB所在直线绕点A逆时针旋转一个角度a得到直线AM，过点C作CE⊥AM，垂足为E，连接BE.

(1)、当0°<a<45°时，设AM交BC于点F，
①如图1，若a=35°，求∠BCE的度数；

②如图2，用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明；

(2)、当45°<a<90°时（如图3），请直接用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系。

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