辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高三上册数学期中（Ⅰ）试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设命题p：∃x₀∈(0，+∞)，lnx₀>x₀-1，则￢p为（）

A、∀x∈(0，+∞)，lnx≤x-1 B、∃x₀∈(0，+∞)，lnx₀≤x₀﹣1 C、∀x∈(-∞，0]，lnx≤x-1 D、∃x₀∈(-∞，0]，lnx₀≤x₀-1

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2. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} x < 1} ， B = {x | y = \sqrt{2^{x} - 4}} ，$ 则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、(-∞，2) B、(-∞，2] C、(0，2) D、[0，2]

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3. 若复数z满足(1－3i)z＝1＋i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m^{2} + m - 2}$ 在(0，﹢∞)上是减函数，则f(m)的值为（）

A、3 B、1 C、-3 D、-1

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5. 函数 $y = l o g_{a} x + a^{x - 1} + 2$ (a>0且a≠1)的图象恒过定点(k，b)，若m+n=b-k且m>0，n>0，则 $\frac{9}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、9 B、8 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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6. 已知△ABC中，∠BAC=120°，AC=3AB=3，DC=2AD，在线段BD上取点E，使得 $\vec{B E} = 3 \vec{E D} ，$ 则 $c o s ⟨ \vec{A E} ， \vec{B D} ⟩ = ()$

A、 $- \frac{\sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ C、 $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{{(x + 1)}^{2}} ， & x \leq 0 \\ x + \frac{4}{x} - 3 ， & x > 0 \end{array} ，$ 函数y=f(x)﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁x₂+x₃+x₄的取值范围为（）

A、(5，3+e] B、(4，4+e) C、[4，+∞) D、(-∞，4]

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8. 设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0且| $| φ | < \frac{π}{2})$ 满足以下条件：
①∀x∈R，满足 $f (x) \geq f (\frac{7 π}{12}) ；$ ②∃x₀，使得 $f (\frac{π}{3}) = f (x_{0}) = 0 ；$ 且 $| x_{0} - \frac{π}{3} |_{m i n} ⟩ \frac{π}{6} ，$ 则关于x的不等式 $[f (x) - f (- \frac{31 π}{4})] [f (x) - f (\frac{31 π}{3})] > 0$ 的最小正整数解为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 下列结论正确的是（）

A、若a，b为正实数，a>b，则a³+b³>a²b+ab² B、若a，b，m为正实数，a<b，则 $\frac{a + m}{b + m} < \frac{a}{b}$ C、若a，b∈R，则“a>b>0”是 $“ \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ”$ 的充分不必要条件 D、不等式|x﹣m|<1成立的充分不必要条件是 $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2} ，$ 则m的取值范围是 $[- \frac{1}{2} ， \frac{4}{3}]$

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10. 已知向量a，b满足 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = | \vec{a} | ， | 3 \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | ，$ 且 $| \vec{a} | = 2 ，$ 则（）

A、 $| \vec{b} | = 2$ B、 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ C、 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = 6$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$

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11. 已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=lgx，记g(x)=sinx+f(x)·cosx，下列结论正确的是（）

A、g(x)为奇函数 B、若g(x)的一个零点为x₀，且x₀<0，则] $l g (- x_{0}) - t a n x_{0} = 0$ C、g(x)在区间 $(- \frac{π}{2} ， π)$ 的零点个数为3个 D、若g(x)大于1的零点从小到大依次为x₁，x₂，…，则7<x₁+x₂<3π

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12. 已知连续函数f(x)满足：①∀x，y∈R，则有f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1，②当x>0时，f(x)<1，③f(1)=-2，则以下说法中正确的是（）

A、f(x)的图象关于(0，1)对称 B、f(4x)=4f(x)﹣4 C、f(x)在[-3，3]上的最大值是10 D、不等式f(3x²)﹣2f(x)>f(3x)+4的解集为 ${x | \frac{2}{3} < x < 1}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知 $f (\frac{x}{x + 1}) = x - 1 ，$ 则f(x)=.

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14. 已知 $\vec{a} = (s i n α ， c o s α) ， α \in (\frac{π}{2} ， π) ， \vec{b} = (2 ， 1) ，$ 若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则： $s i n (α - \frac{π}{4}) =$

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15. 函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} - a (a \in R) ，$ 若函数f(x)恰有两个零点，则a的取值范围是.

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16. 牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设r是函数y=f(x)的一个零点，任意选取x₀作为r的初始近似值，以点(x₀，f(x₀))为切点作曲线y=f(x)的切线l₁，设l₁与x轴交点的横坐标为x₁，并称x₁为r的1次近似值；以点(x₁，f(x₁))为切点作曲线y=f(x)的切线l₂，设l₂与x轴交点的横坐标为x₂，称x₂为r的2次近似值，以点( $(x_{n} ， f (x_{n})) (n \in N^{*})$ )为切点作曲线y=f(x)的切线l_n+1 ，记l_n+1与x轴交点的横坐标为x_n+1，设、f(x)=x³+2x-2(x≥0)的零点为r，取x₀=0，则r的2次近似值为：设 $a_{n} = \frac{3 x_{n}^{3} + 2 x_{n}}{2 x_{n}^{3} + 2} (n \in N^{*}) ，$ 数列{a_n}的前n项积为Tn.若任意的；n∈N*，Tn<λ恒成立，则整数λ的最小值为.

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四、解答题：本大题共6小题，共10分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 设Sₙ是公差不为0的等差数列{aₙ}的前n项和，已知 $\frac{1}{3} S_{3}$ 与 $\frac{1}{4} S_{4}$ 的等比中项为 $\frac{1}{5} S_{5} ，$ 且 $\frac{1}{3} S_{3}$ 与 $\frac{1}{4} S_{4}$ 的等差中项为 $- \frac{5}{4} .$

(1)、求数列{aₙ}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} ，$ 求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.

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18. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知 $s i n A + \sqrt{3} c o s A = 0 .$

(1)、求角A的大小；

(2)、给出以下三个条件：①a=4 $\sqrt{3}$ ， $b = 4 ； ② b^{2} - a^{2} + c^{2} + 10 b = 0 ；$ ③ $S_{△ A B C} = 15 \sqrt{3} .$ 若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件，并说明理由，再回答下面问题：
①求sinB的值；
②∠BAC的角平分线交BC于点D，求AD的长.

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19. 已知数列{aₙ}中，a₂=1，设Sn为{aₙ}前n项和， $2 S_{n} = n a_{n} .$

(1)、求{aₙ}的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n} + 1}{2^{n}}}$ 的前n项和Tₙ.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} c o s^{2} (ω x + \frac{π}{6}) - 4 s i n ω x c o s ω x$ （x∈R且 $ω > 0$ ）的两个相邻的对称中心的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求f(x)在R上的单调递增区间；

(2)、将f(x)图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)，若 $g (α) = \frac{1}{2} ， α \in [0 ， π] ，$ 求 $c o s (2 α - \frac{π}{6})$ 的值

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21. 已知函数 $f (x) = x + \frac{2 a}{x} - (a - 2) l n x (a \in R) ， g (x) = (b - 1) x - \frac{2}{x} - x e^{x} .$

(1)、讨论函数f(x)的单调性；

(2)、当a=1时，关于x的不等式f(x)+g(x)≤-1恒成立，求实数b的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - \frac{1}{2} m x^{2} - x (m \in R) .$

(1)、若直线y=x+b与f(x)的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值；

(2)、若函数f(x)在(0，+∞)上存在两个极值点x₁，x₂，且：x₁<x₂，证明：lnx₁+lnx₂>2.

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