浙江省杭州市精诚联盟2023-2024学年高一上册数学10月月考试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若集合 $M = {x \in N | \frac{1}{x - 2} \leq 0}$ ，则正确的是（）

A、 $0 \notin M$ B、 $2 \in M$ C、 ${1} \subseteq M$ D、 $1 \subseteq M$

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2. 集合 $A = {x | y = \sqrt{x^{2} - 1}} ， B = {y | y = x^{2}}$ ，则 $A \cap^{} B$ 等于（）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | x \geq 1}$ C、 ${x | x \geq 1$ 或 $x \leq - 1}$ D、 ${x | x \geq 0}$

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3. 下列各组函数表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x ， g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ B、 $f (x) = | x | ， g (x) = (\sqrt{x})^{2}$ C、 $f (x) = | x + 1 | ， g (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， & x \geq - 1 \\ - x - 1 ， & x < - 1 \end{array}$ D、 $f (x) = (x + 1)^{2}$ ， $g (x) = x^{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x ， & x \geq 0 \\ f (x + 3) ， & x < 0 \end{array}$ ，则 $f (- 4)$ 等于（）

A、 $6$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $8$

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5. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， 1)$ ，则函数 $f (2 x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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6. 求函数 $y = \frac{3 x^{2} - 3 x + 4}{x^{2} - x + 1}$ 的值域为（）

A、 $(- \infty ， \frac{13}{3}]$ B、 $(3 ， \frac{13}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{13}{3}]$ D、 $[3 ， \frac{13}{3}]$

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7. 已知命题 $p$ ： $\exists x \in [0 ， 1]$ ， $x^{2} - 2 x - 2 + a > 0$ ；命题 $q$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - a \neq 0$ ，若命题 $p$ 、 $q$ 均为假命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， 3]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $(- \infty ， - 1]$

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8. 设函数 $f (x)$ 满足：对任意非零实数 $x$ ，均有 $f (x) = f (1) \cdot x + \frac{f (2)}{x} - 2$ ，则 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3} - 2$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $2 \sqrt{2} - 2$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，集合 ${a ， b ， 1}$ 与集合 ${a^{2} ， a + b ， 0}$ 相等，下列说法正确的是（）

A、 $b = - 1$ B、 $b = 0$ C、 $a = - 1$ D、 $a^{2023} + b^{2023} = - 1$

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10. 下列说法正确的是（）

A、不等式 $\frac{x + 2}{2 x + 1} > 1$ 的解集 ${x | - \frac{1}{2} < x < 1}$ B、“ $a b > 1$ ”是“ $a > 1$ ， $b > 1$ ”成立的充分不必要条件 C、命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 0$ ，则 $\neg p ： \exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} \leq 0$ D、“ $a < 2$ ”是“ $a < 6$ ”的必要不充分条件

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11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = a b$ ，则（）

A、 $(a - 1) (b - 1) = 1$ B、 $a b$ 的最大值为 $4$ C、 $a + 4 b$ 的最小值为 $9$ D、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 4 + k^{2}$ ，若对任意的 $a$ ， $b$ ， $c \in [0 ， 3]$ 都存在以 $f (a)$ ， $f (b)$ ， $f (c)$ 为边的三角形，则实数 $k$ 的可能取值为（）

A、 $k = 1$ B、 $k = 2$ C、 $k = 3$ D、 $k = 4$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知 $- 1 \leq x \leq 2$ ， $0 \leq y \leq 1$ ，设 $z = 2 x - y$ ，则 $z$ 的取值范围是．

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14. 已知集合 $A = {a ， b ， c ， d}$ ，集合 $B$ 中有且仅有 $2$ 个元素，且 $B \subseteq A$ ，满足下列三个条件：
      $①$ 若 $a \in B$ ，则 $c \in B$ ；
      $②$ 若 $d \notin B$ ，则 $c \notin B$ ；
      $③$ 若 $d \in B$ ，则 $b \notin B$ ．
则集合 $B =$ $. ($ 用列举法表示 $)$ ．

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15. 有“中欧骏泰”，“永赢货币”两种理财产品，投资这两种理财产品所能获得的年利润分别是 $S$ 和 $T ($ 万元 $)$ ，它们与投入资金 $x ($ 万元 $)$ 的关系有经验方程式： $S = \frac{x}{5} ， T = \frac{2 \sqrt{x}}{5}$ ，今有 $5$ 万元资金投资到这两种理财产品，可获得的最大年利润是万元．

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16. 已知 $a \in R$ ， $b > 0$ ， $a + b = 2$ ，则 $\frac{1}{2 | a |} + \frac{| a |}{b}$ 的最小值是．

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四、解答题（本大题共3小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知集合 $A$ 为 ${x | x^{2} + 5 x - 6 < 0}$ ，集合 $B$ 为 ${x | m - 2 < x < 2 m + 1}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cap^{} (∁_{R} B)$ ：

(2)、若 $A \cup^{} B = A$ ，求 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ ．

(1)、若 $f (1) = 2$ ，且 $a > 0$ ， $b > 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值：

(2)、若 $b = - a - 1$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ ．

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19. 已知对任意两个实数 $m$ 、 $n$ ，定义 $m a x {m ， n} = {\begin{array}{l} m ， & m \geq n \\ n ， & m < n \end{array}$ ，设函数 $f (x) = a x - 2$ ， $g (x) = x^{2} + b x - 5$ ．

(1)、若 $a = 2$ ， $b = 4$ 时，设 $h (x) = m a x {f (x) ， g (x)}$ ，求 $h (x)$ 的最小值：

(2)、 $a > 0$ ， $b \in R$ ，若 $x > 0$ 时， $f (x) g (x) \geq 0$ 恒成立，求 $b + \frac{4}{a}$ 的最小值．

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