广东省广州市花都区2023-2024学年高三上学期数学10月调研测试试题

试卷更新日期：2023-10-27 类型：月考试卷

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一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知复数 $z = 1 + i^{2} + i^{3} + i^{4}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x ∣ x = 3 n - 2 ， n \in Z} ， B = {x ∣ \frac{20}{x + 1} \in N^{*}}$ ，则集合 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 从甲、乙等6名志愿者中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 已知点 $A (1 ， 2) ， B (2 ， 4) ， C (0 ， 5)$ ，点 $P$ 在 $△ A B C$ 所在平面内，且满足 $| \vec{P A} | = | \vec{P B} | = | \vec{P C} |$ ，则 $\vec{A P}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(\frac{2}{3} ， \frac{4}{3})$ D、 $(1 ， 2)$

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5. 天文学上用绳对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度.可用 $M = m - 5 l g \frac{d}{d_{0}}$ (其中 $d_{0}$ 为常数)近似表示绝对星等 $M$ ，目视星等 $m$ 和观测距离 $d$ 之间的关系.若1号天体的绝对星等为0.54，目视星等为0.04，2号天体的绝对星等为-0.36，目视星等为-0.06，则观测者与1号天体和2号天体的距离的比值约为（）

A、 $1 0^{- \frac{5}{3}}$ B、 $1 0^{- 0.16}$ C、 $1 0^{- 0.04}$ D、 $1 0^{\frac{5}{3}}$

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6. 在平面直角坐标系xOy中，记直线 $y = x$ 与直线 $y = 2 x$ 在第一象限所形成的夹角为 $θ$ ，则 $\frac{1}{c o s^{2} θ + 2 s i n^{2} θ} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{10}{11}$ D、 $\frac{11}{12}$

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7. 若定义在 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 单调递减，且 $f (1) = 0$ ，则满足 $x f (x - 1) \leq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2] \cup [0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2] \cup [- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1] \cup [2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0] \cup [2 ， + \infty)$

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8. 对一个质地均匀的实心圆锥体工件进行加工，已知该工件底面半径为 $12 c m$ ，高为 $8 c m$ ，加工方法为挖掉一个与该圆锥体工件同底面共圆心的内接圆柱.若要使加工后工件的质量最轻，则圆柱的半径应设计为（）

A、8cm B、6cm C、4cm D、2cm

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二、选择题:本题共4小题。每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。

9. 已知函数 $f (x) = s i n x + \frac{2}{s i n x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， - 2 \sqrt{2}] \cup [2 \sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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10. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若存在 $a ， b ， c \in R$ ，使得 $S_{n} = a \cdot b^{n} + c$ ，则（）

A、 $a c < 0$ B、 $b$ 是数列 ${a_{n}}$ 的公比 C、数列 ${S_{n}}$ 可能为等比数列 D、数列 ${a_{n}}$ 不可能为常数列

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11. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ ，则（）

A、直线 $x + y - 2 = 0$ 与抛物线 $C$ 相交所得弦长为 $2 \sqrt{10}$ B、直线 $x + y - 2 = 0$ 与抛物线 $C$ 交于M，N两点，则 $O M ⊥ O N$ C、过点 $A (- 1 ， 0)$ 恰有2条直线与抛物线 $C$ 有且只有一个公共点 D、抛物线 $C$ 上的点到直线 $x - y + 2 = 0$ 的最短距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$

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12. 已知当 $x > 0$ 时， $\frac{1}{1 + x} < l n (1 + \frac{1}{x}) < \frac{1}{x}$ ，则（）

A、 $e^{\frac{1}{8}} > \frac{8}{7}$ B、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{7} > l n 8$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{8} < l n 8$ D、 $\frac{C_{8}^{0}}{8^{0}} + \frac{C_{8}^{1}}{8^{1}} + ⋯ + \frac{C_{8}^{8}}{8^{8}} <$ e

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三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ，若 $P (X \leq a) = 0.32$ ，则 $P (a < X \leq 4 - a) =$ .

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14. 已知 $(x + 4)^{2023} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{2023} x^{2023}$ ，若 $T = a_{0} + a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{2023}$ ，则 $T$ 被6除所得的余数为.

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15. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，动点 $P$ 在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内，且AP与 $A A_{1}$ 所成角为 $3 0^{°}$ ，则 $C_{1} P$ 长度的最小值为.

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $P$ .作 $O M ⊥ P F_{2}$ 于点 $M$ (其中 $O$ 为坐标原点)，且有 $\vec{P F_{2}} = 3 {\vec{M F}}_{2}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{3} + a_{4} = 12 ， S_{6} - S_{4} = 20$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = (- 1)^{n} S_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前23项的和 $T_{23}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A$ 是钝角， $s i n A = \frac{3}{5} ， s i n (B - C) = \frac{1}{5}$ .

(1)、求 $\frac{t a n B}{t a n C}$ 的值；

(2)、若 $B C = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} + c o s x (x \geq 0) ， e$ 为自然对数的底数.

(1)、证明： $f (x) \geq 2$ ；

(2)、若 $f^{^{'}} (x) + 2 s i n x \geq b x + 1$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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20. 在四棱雉 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面PAB，且 $∠ P A D = 4 5^{°}$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD；

(2)、若E为PC的中点，直线BE与底面ABCD所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，求平面PBA与平面PBC的夹角的大小.

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21. 已知动点M在圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 上，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，点 $P$ 满足 $\vec{M N} = \sqrt{3} \vec{P N}$ ，点 $P$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $F (- \sqrt{2} ， 0)$ ，设A，B是曲线 $C$ 上的两点，直线AB与曲线 $x^{2} + y^{2} = 1 (x < 0)$ 相切.证明：A，B，F三点共线的充要条件是 $| A B | = \sqrt{3}$ .

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22. 根据过去50年的水文资料，对某水库的年入流量x（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）进行统计整理得到下表：
年入流量x
[20，40)
[40，60)
[60，80)
[80，100)
[100，120)
年数
5
10
20
10
5
将过去50年统计所得的年入流量在五个区间的频率作为年入流量在相应区间的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
已知各年的发电机最多可运行台数N与年入流量x相关，关系如下表：
年入流量x
[40，60)
[60，80)
[80，100)
[100，120)
发电机最多可运行台数N
1
2
3
4

(1)、德国数学家高斯用取整符号“[ ]”定义了取整运算：对于任意的实数，取整运算的结果为不超过该实数的最大整数.例如，当0<x<1时，[x]=0.请运用取整运算，写出发电机最多可运行台数N关于年入流量x的函数解析式；

(2)、当地政府计划在该水库建一座水电站．当发电机正常运行，年利润为4000万元/台；当发电机未运行，年亏损500万元/台．若要使发电机的年总利润的期望值最大，则该水库应安装多少台发电机?

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年入流量x	[20，40)	[40，60)	[60，80)	[80，100)	[100，120)
年数	5	10	20	10	5