山东省青岛市名校2023-2024学年高二上册数学期初考试试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：开学考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 集合 $A = {x | y = \sqrt{2 - x}}$ ， $B = {y | y = \sqrt{2 - x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 2 ， 0]$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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2. 江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑．因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳楼与武汉的黄鹤楼）．小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线 $D F$ ，将自制测量仪器分别放置于 $D$ ， $E$ 两处进行测量．如图，测量仪器高 $A D = 2 m$ ，点 $P$ 与滕王阁顶部平齐，并测得 $∠ C B P = 2 ∠ C A P = 60 °$ ， $A B = 64 m$ ，则小张同学测得滕王阁的高度约为（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）（）

A、 $50 m$ B、 $55.5 m$ C、 $57.4 m$ D、 $60 m$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在边 $B C$ 上， $∠ A D B = 60 ° ， A D = B D = 2 C D = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{100}$ 的方差为4，若由 $y_{1} = 2 x_{1} + 3$ ， $y_{2} = 2 x_{2} + 3 ， ⋯$ ， $y_{100} = 2 x_{100} + 3$ 得到另一组样本数据 $y_{1} ， y_{2} ， ⋯ ， y_{100}$ ，则样本数据 $y_{1} ， y_{2} ， ⋯ ， y_{100}$ 的方差为（）

A、8 B、16 C、32 D、64

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5. 已知 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，当 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ 时， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、2 B、 $\vec{b}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3 b}$

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6. 如图，线段 $A B$ 是圆的直径，圆内一条动弦 $C D$ 与 $A B$ 交于点 $M$ ，且 $M B = 2 A M = 2$ ，现将半圆 $A C B$ 沿直径 $A B$ 翻折，则三棱锥 $C - A B D$ 体积的最大值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、1

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7. 函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{e^{x} + 1}) \cdot s i n x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $\sqrt{2} s i n (θ - \frac{π}{4}) c o s (π + θ) = c o s 2 θ$ ，且 $s i n θ \neq 0$ ，则 $t a n (θ + \frac{π}{6})$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y = 3$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为3 B、 $\sqrt{x} + \sqrt{2 y}$ 的最大值为6 C、 $x y$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$ D、 $2^{x + 1} + 4^{y} \geq 8$

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10. 一个质地均匀的正四四体，四个面分别标有数字1、2、3、4，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间 $Ω = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，设事件 $E = {1 ， 2}$ ，事件 $F = {1 ， 3}$ ，事件 $G = {2 ， 4}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $E$ 与 $F$ 不是互斥事件 B、 $F$ 与 $G$ 是对立事件 C、 $E$ 与 $F$ 是独立事件 D、 $F$ 与 $G$ 是独立事件

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11. $α$ ， $β$ 是两个平面， $m$ ， $n$ 是两条直线，有下列四个命题，其中正确的有（）

A、如果 $m$ ， $n$ 与 $α$ 所成的角相等，那么 $m / / n$ B、如果 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，那么 $m ⊥ n$ C、如果 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，那么 $m / / β$ D、如果 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，那么 $α ⊥ β$

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12. 如图所示，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为 $B D$ 的中点，直线 $A_{1} C$ 交平面 $C_{1} B D$ 于点 $M$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $C_{1}$ ， $M$ ， $O$ 三点共线 B、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ C、直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ D、 $B_{1}$ 到平面 $C_{1} B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设 $z = \frac{2}{1 - i} + i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ .

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14. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2 ， \frac{1}{4})$ ，则 $f (\sqrt{7}) =$ .

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15. 驾照考试一共有四个科目：科目一（驾驶员理论考试）、科目二（场地驾驶技能考试）、科目三（道路驾驶技能考试）、科目四（安全文明驾驶常识考试）．只有四个科目都通过才能取得驾照．若某学员四个科目通过的概率依次是0.9、0.8、0.8、0.9，且每个科目是否通过相互之间没有影响，则该学员拿到驾照的概率为．

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16. 用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥与圆台的侧面积之比为 $\frac{1}{8}$ ，则小圆锥与圆台的体积之比为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取50名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值，并估计这50名同学的平均成绩；

(2)、先用分层抽样的方法从评分在 $[40 ， 60)$ 和 $[80 ， 100]$ 的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名，求这2名同学的分数都在区间 $[80 ， 100]$ 的概率．

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18. 在如图所示的半圆柱中， $A B$ 为上底面直径， $D C$ 为下底面直径， $A D$ 为母线，点 $F$ 在上， $G$ 在 $\overset{⌢}{D C}$ 上，且 $A B = A D = 2 B F = 2 D G = 2$ ， $P$ 为 $D C$ 的中点．

(1)、求直线 $A G$ 与直线 $B F$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线 $C A$ 与平面 $A D G$ 所成角的正切值；

(3)、求二面角 $A - G C - D$ 的正弦值．

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19. 已知函数 $f (x) = c o s x (2 \sqrt{3} s i n x + c o s x) - s i n^{2} x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时，关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a c o s B + \frac{\sqrt{3}}{3} b s i n A = c$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值，并指出此时三角形的形状．

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21. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = C C_{1} = 2 a$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，点 $D$ 为 $B C$ 中点，连接 $A_{1} C$ 、 $A C_{1}$ 交于点 $E$ ，点 $F$ 为 $D C_{1}$ 中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求证：平面 $A_{1} C B ⊥$ 平面 $A C_{1} D$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = a^{x} - 2 (a > 0 且 a \neq 1)$ ．

(1)、求证函数 $f (x + 1)$ 的图象过定点，并写出该定点；

(2)、设函数 $g (x) = l o g_{2} (x + 2) - f (x - 1) - 3$ ，且 $g (2) = \frac{1}{2}$ ，试证明函数 $g (x)$ 在 $x \in (1 ， 2)$ 上有唯一零点．

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