天津市武清区杨村第一名校2023-2024学年高三上册数学开学检测试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：开学考试

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一、选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分）

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $A = {3, 5}$ ， $B = {1, 2, 5}$ ，则 $B \cap (∁_{U} A) =$ （）

A、{2} B、 ${1, 2}$ C、 ${2, 4}$ D、 ${1, 2, 4}$

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2. 已知 $a \in R$ ，则“ $a < \frac{1}{2}$ ”是“ $\frac{1}{a} > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = (x^{2} - | x |) l n | x |$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，那么直线 $C P$ 与 $B D$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 为响应“书香临夏、悦享阅读”活动，某校开展语文教师课文朗诵比赛．已知男女教师人数相同，有 $8 %$ 的男教师和 $4 %$ 的女数师擅长中华诗词朗诵，现随机选一位教师，这位教师恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（）

A、 $0.05$ B、 $0.06$ C、 $0.10$ D、 $0.12$

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6. 已知 $a = 2^{\frac{4}{3}}$ ， $b = {(\frac{4}{3})}^{2}$ ， $c = l o g_{2} \frac{4}{3}$ ，则a ， b ， c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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7. 已知实数 $a ， b ， c ， d$ 成等比数列，且曲线 $y = 3 x - x^{3}$ 的极大值点为 $b$ ，极大值为 $c$ ，则 $a d$ 等于（）

A、2 B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、1

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8. 5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x
1
2
3
4
5
销售量y（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
若y与x线性相关，且线性回归方程为 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、由题中数据可知，变量y与x正相关 B、线性回归方程 $\hat{y} = 0.24 x + \hat{a}$ 中 $\hat{a} = 0.26$ C、 $x = 5$ 时，残差为0.02 D、可以预测 $x = 6$ 时该商场5G手机销量约为1.72（千只）

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9. 已知函数 $f (x) = s i n ω x - \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0 ， x \in R)$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标构成一个公差为 $\frac{π}{2}$ 的等差数列，把函数 $f (x)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列关于函数 $g (x)$ 的结论，其中所有正确结论的序号是（）
①函数 $g (x)$ 是奇函数
② $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称
③ $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上是增函数
④当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 时，函数 $g (x)$ 的值域是 $[0 ， 2]$

A、①③ B、③④ C、② D、②③④

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二、填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，将答案写在答题纸上）

10. 已知函数 $f (x) = 4^{x} + l o g_{2} x$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ．

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11. 二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式的常数项为.

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12. 已知点A在函数 $f (x) = e^{x} - 2 x$ 的图象上，点B在直线 $l ： x + y + 3 = 0$ 上，则A ， B两点之间距离的最小值是．

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13. 某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是，记抽取的男生人数为 $X$ ，则随机变量 $X$ 的数学期望为．

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14. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4 a}{b^{2}} + b$ 的最小值为.

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15. 已知 $a > 1$ ，且函数 $f (x) = 2 | x^{2} - x + a | + | x^{2} - 4 x + a |$ .若对任意的 $x \in (1 ， a)$ 不等式 $f (x) \geq (a - 1) x$ 恒成立，则实数a的取值范围为.

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三、解答题（本大题共5小题，共75分.将解题过程写在答题纸上）

16. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $\sqrt{3} a \cos B = b \sin A$

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $\cos A = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $\sin (2 A - B)$ 的值；

(3)、若 $b = 2$ ， $c = 2 a$ ，求边a的值.

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17. 如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B E F$ 为正方形， $D F ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $C D ∥ E F$ ， $D F = 2$ ， $E F = 2 C D = 2$ ， $E N = 2 N C$ ， $B M = 2 M A$ .

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A C F$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $A C F$ 与平面 $B C E$ 夹角的正弦值.

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，公比为q ， $a_{4}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ 依次成等差数列.

(1)、求公比q的值；

(2)、当公比 $q < 0$ 时，求数列 ${n a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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19. 设函数 $f (x) = (2 - a) l n x + \frac{1}{x} + 2 a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a < 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若对任意 $a \in (- 3 ， - 2)$ 及 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， 3]$ ，恒有 $(m + l n 3) a - 2 l n 3 > | f (x_{1}) - f (x_{2}) |$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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20. 已知数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是首项为0，公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{4}{15} \cdot {(- 2)}^{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，对任意的正整数 $k$ ，将集合 ${b_{2 k - 1} ， b_{2 k} ， b_{2 k + 1}}$ 中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为 $d_{k}$ ，求证：数列 ${d_{k}}$ 为等比数列；

(3)、对（2）中的 $d_{k}$ ，求集合 ${x | d_{k} < x < d_{k + 1} ， x \in Z}$ 的元素个数.

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时间x	1	2	3	4	5
销售量y（千只）	0.5	0.8	1.0	1.2	1.5