湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高三上册数学8月第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $B = {x ∣ 1 < x < 6}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x ∣ 2 ⩽ x ⩽ 5}$ C、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. 已知复数z满足（z-2i）(1-i）=2，则 $\bar{z}$ =（）

A、 $2 - 3 i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $2 + 3 i$ D、 $1 + 3 i$

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3. 已知 $a$ ， $b$ 是非零实数，则“ $l n | a | > l n | b |$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码 $x$
1
2
3
4
5
年人均借阅量 $y$ （册）
          $y_{1}$
          $y_{2}$
16
22
28
（参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 90$ ）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量 $y$ 关于年份代码 $x$ 的回归分析模型为 $\hat{y} = 5 x + m$ ，则2023年的年人均借阅量约为（）

A、31 B、32 C、33 D、34

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5. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $O$ 为坐标原点，一束平行于 $x$ 轴的光线 $l_{1}$ 从点 $P (m ， n) (n^{2} < 4 m)$ 射入，经过抛物线上的点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 反射后，再经抛物线上另一点 $B (x_{2} ， y_{2})$ 反射后，沿直线 $l_{2}$ 射出，则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离最小值为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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6. 某校4名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数不相等的概率为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{4}{7}$

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7. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起成 $△ A_{1} B D$ ，折起过程中，当 $A_{1} B ⊥ C D$ 时，四面体 $A_{1} B C D$ 体积为（）

A、2 B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $\frac{9 \sqrt{7}}{2}$

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8. 在三角形 $A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ ， $| \vec{B C} | = 6$ ， $\vec{A O} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ， $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{5}{6} \vec{B C}$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、-12 B、-6 C、12 D、18

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二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项对合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 已知函数 $f (x) = a s i n x + c o s x (x \in R)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$ 对称，则下列结论正确的是（）

A、 $a = - \sqrt{3}$ B、 $f (x)$ 的最大值为2 C、函数 $f (x)$ 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 $π$ D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减

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10. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是双曲线 $C$ 位于第一象限内一点，若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ， $| \vec{P F_{1}} | = 2 | {\vec{P F}}_{2} |$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{3}{2} a^{2}$ B、双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ C、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $x \pm 2 y = 0$ D、若双曲线 $C$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，则双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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11. 若数列 ${a_{n}}$ 中任意连续三项 $a_{i}$ ， $a_{i + 1}$ ， $a_{i + 2}$ ，均满足 $(a_{i} - a_{i + 2}) (a_{i + 2} - a_{i + 1}) > 0$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为跳跃数列.则下列结论正确的是（）

A、等比数列：1， $- \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{9}$ ， $- \frac{1}{27}$ ， $\frac{1}{81}$ ， …是跳跃数列 B、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = c o s \frac{n π}{2} (n \in N^{*})$ ，数列 ${a_{n}}$ 是跳跃数列 C、等差数列不可能是跳跃数列 D、等比数列是跳跃数列的充要条件是该等比数列的公比 $q \in (- 1 ， 0)$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称，且满足 $f (x + 3) = f (1 - x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x + 1)$ 是奇函数 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、函数 $f (x)$ 是最小正周期为2的周期函数 D、若函数 $g (x)$ 满足 $g (x) + f (x + 3) = 2$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2024} g (k) = 4048$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知 $t a n θ = 2$ ，则 $s i n 2 θ =$ .

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14. 已知圆 $A$ ： $x^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ ，过动点 $P$ 作圆 $A$ 的切线 $P B$ （ $B$ 为切点），使得 $| P B | = \sqrt{3}$ ，则动点 $P$ 的轨迹方程为.

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15. 如图，圆柱 $O O_{1}$ 的底面半径和母线长均为3， $A B$ 是底面直径，点 $C$ 在圆 $O$ 上且 $O C ⊥ A B$ ，点 $E$ 在母线 $B D$ 上， $B E = 2$ ，点 $F$ 是上底面的一个动点，且 $O_{1} F = \sqrt{6}$ ，则四面体 $A C E F$ 的外接球的体积为.

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16. 已知 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x) = 8 a e^{x} - 4 x^{2} - 3$ 的两个不同极值点，若 $f (x_{1}) = 0$ ，则实数 $a$ 的值为.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.）

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $b s i n (C + \frac{π}{3}) - c s i n B = 0$ .

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $10 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，求 $B D$ 的最小值.

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18. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 2$ ，延长 $C B$ 至 $D$ ，使 $C B = B D$ ，连接 $A D$ ， $A B_{1}$ ， $B_{1} D$ .

(1)、求证：平面 $B_{1} A D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求二面角 $B_{1} - A D - C$ 的余弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 2$ ， $(n + 2) S_{n} = n a_{n + 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ .

(1)、证明： ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、设 $c_{n} = \frac{n + 2}{n \cdot a_{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 2$ .

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20. 2023年游泳世锦赛于7月14日—30日在日本福冈进行，甲、乙两名10米跳台双人赛的选手，在备战世锦赛时挑战某高难度动作，每轮均挑战3次，每次挑战的结果只有成功和失败两种.

(1)、甲在每次挑战中，成功的概率都为 $\frac{2}{3}$ .设甲在3次挑战中成功的次数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，由于教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，改变规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.15.求乙在第三次成功的概率.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆 $C$ 上一动点， $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4$ ，椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，直线 $l$ 过点 $Q (- 3 ， 0)$ 交椭圆 $C$ 于不同的两点 $A$ ， $B$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程：

(2)、若三角形 $F_{1} A B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{21}}{4}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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22. 证明下面两题：

(1)、证明：当 $x > 1$ 时， $e^{x} > x^{2}$ ；

(2)、当 $0 < a < \frac{1}{e}$ 时，证明函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}} + a (l n x - x)$ 有2个不同零点.

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年份	2018	2019	2020	2021	2022
年份代码 $x$	1	2	3	4	5
年人均借阅量 $y$ （册）	$y_{1}$	$y_{2}$	16	22	28