湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高二上册数学入学检测试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：开学考试

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z = (1 - i) + λ (1 + i)$ 是纯虚数，则实数 $λ =$ （）

A、－2 B、－1 C、0 D、1

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2. 已知集合 $A = {(x ， y) | x = y}$ ， $B = {(x ， y) | y = 8 - x}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${4}$ B、 ${(4 ， 4)}$ C、 ${1 ， 4}$ D、 ${(1 ， 1) ， (4 ， 4)}$

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3. 已知 $x \in R$ ，则 $x \geq 1$ 且 $y \geq 4$ 是 $x + y \geq 5$ 且 $x y \geq 4$ 成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（　　）

A、至多有1次中靶 B、2次都中靶 C、2次都不中靶 D、只有1次中靶

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5. 已知样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{2022}$ 的平均数和方差分别为3和56，若 $y_{i} = 2 x_{i} + 3 (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 2022)$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， … $y_{2022}$ 的平均数和方差分别是（）

A、12，115 B、12，224 C、9，115 D、9，224

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6. 某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间 $[75 ， 80)$ 内的学生有（）

A、15名 B、20名 C、25名 D、40名

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ， $f (1) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{22} f (k) =$ （）

A、－3 B、－2 C、0 D、1

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8. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ ，分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点，过点 $D_{1}$ ， $E$ ， $F$ 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为 $V_{1} ， V_{2} (V_{1} < V_{2})$ ，则 $V_{1} ： V_{2} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{25}{47}$ D、 $\frac{7}{9}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知 $2^{a} = 3^{b} = 6$ ，则a ， b满足（）

A、 $a > b$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 1$ C、 $a b > 4$ D、 $a + b > 4$

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10. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A、 $b = 10 ， A = 45 ° ， C = 60 °$ B、 $b = \sqrt{15} ， c = 4 ， B = 60 °$ C、 $a = \sqrt{3} ， b = 2 ， A = 45 °$ D、 $a = 8 ， b = 4 ， A = 80 °$

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11. 下列四个命题中，假命题有（）

A、对立事件一定是互斥事件 B、若A ， B为两个事件，则 $P (A ∪ B) = P (A) + P (B)$ C、若事件A ， B ， C彼此互斥，则 $P (A) + P (B) + P (C) = 1$ D、若事件A ， B满足 $P (A) + P (B) = 1$ ，则A ， B是对立事件

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E ， F ， G$ 分别为 $B C ， C C_{1} ， B B_{1}$ 的中点.则（）

A、直线 $D_{1} D$ 与直线 $A F$ 垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 C、平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ D、点C与点G到平面 $A E F$ 的距离相等

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取人.

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14. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ ，则 $A C_{1} =$ .

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15. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， x \leq a \\ x^{2} ， x > a \end{array}$ ，若存在实数 $b$ ，使函数 $g (x) = f (x) - b$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB、PD于点E、F（可与端点重合），则四棱锥 $P - A E M F$ 的体积的取值范围是.

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四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图像如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及对称中心；

(2)、先将 $f (x)$ 的图像纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后得到 $g (x)$ 的图像，求函数 $y = g (x)$ 在 $x \in [\frac{π}{12} ， \frac{3 π}{4}]$ 上的单调减区间和最值.

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E ， F分别是棱BC ， DC的中点.

(1)、求证： $D_{1} E ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、若点M ， N分别在 $C_{1} D$ ， AF上，且 $M N ⊥ C_{1} D$ ， $M N ⊥ A F$ .求证： $M N ∥ D_{1} E$ ；

(3)、棱 $C C_{1}$ 上是否存在点P ，使平面 $C D_{1} E ⊥$ 平面AFP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由.

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19. 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，乙队每位球员罚进点球的概率均为 $\frac{2}{3}$ .假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.

(1)、求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；

(2)、若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以 $2 ： 0$ 领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，梯形 $A B C D$ 满足 $A B ∥ C D$ ， $∠ B C D = 90 °$ ，且 $P D = A D = D C = 2$ ， $A B = 3$ ， $E$ 为 $P C$ 中点， $\vec{P F} = \frac{1}{3} \vec{P B}$ ， $\vec{P G} = 2 \vec{G A}$ .

(1)、求证： $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 四点共面；

(2)、求二面角 $F - D E - P$ 的正弦值.

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21. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按 $\vec{E P}$ 方向释放机器人甲，同时在A处按 $\vec{A Q}$ 方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动.若点M在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知 $A B = 6$ 米，E为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 $\vec{E P}$ 与 $\vec{E B}$ 的夹角为 $θ (0 < θ < π)$ ， $\vec{A Q}$ 与 $\vec{A B}$ 的夹角为 $α (0 < α < \frac{π}{2})$ .

(1)、若两机器人运动方向的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；

(2)、已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.
①若 $θ = \frac{π}{3}$ ， AD足够长，机器人乙挑战成功，求 $s i n α$ .
②如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论 $θ$ 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度 $α$ 使机器人乙挑战成功？

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22. 定义： $μ = \frac{1}{n} [s i n^{2} (θ_{1} - θ_{0}) + s i n^{2} (θ_{2} - θ_{0}) + ⋯ + s i n^{2} (θ_{n} - θ_{0})]$ 为实数 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ， …， $θ_{n}$ 对 $θ_{0}$ 的“正弦方差”.

(1)、若 $θ_{1} = \frac{π}{3}$ ， $θ_{2} = \frac{2 π}{3}$ ， $θ_{3} = π$ ，证明：实数 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ， $θ_{3}$ 对 $θ_{0}$ 的“正弦方差” $μ$ 的值是与 $θ_{0}$ 无关的定值；

(2)、若 $θ_{1} = \frac{π}{4}$ ， $θ_{2} = α$ ， $θ_{3} = β$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ， $β \in (π ， 2 π)$ ，若实数 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ， $θ_{3}$ 对 $θ_{0}$ 的“正弦方差” $μ$ 的值是与 $θ_{0}$ 无关的定值，求 $α$ ， $β$ 值.

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