湖南省长沙市周南名校2023-2024学年高三上册数学第二次阶段性测试试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = {x \in Z | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ， $N = {x | 0 < x \leq 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 $(0 ， 3]$ D、 $[- 1 ， 4]$

查看试题解析
2. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是方程 $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ 的两个虚根，则 $| z_{1} - z_{2} |$ 为（）

A、4 B、2 C、0 D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
3. 在 $△ A B C$ 中， $M$ 是 $A C$ 边上一点，且 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ，若 $\vec{B M} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $y$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
4. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ ，则 $a_{2024}$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 3$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

查看试题解析
5. 函数 $y = (x^{3} - x) \cdot 3^{| x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = 60 °$ ，则将菱形 $A B C D$ 以其中一条边所在的直线为轴，旋转一周所形成的几何体的体积为（）

A、 $2 π$ B、 $6 π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $8 π$

查看试题解析
7. 已知 $s i n (α - \frac{π}{6}) + c o s α = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

查看试题解析
8. 设 $a = \frac{l n 2}{2}$ ， $b = \frac{1}{e}$ ， $c = \frac{2 + l n 2}{2 e^{2}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小顺序为（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

查看试题解析

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列关于统计概率知识的判断，正确的是（）

A、若 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 的方差为 $σ^{2}$ ，则 $2 x_{1} ， 2 x_{2} ， ⋯ ， 2 x_{n}$ 的方差为 $2 σ^{2}$ B、在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 $r$ 越接近于1 C、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (X \geq - 1) + P (X \geq 5) = 1$ ，则 $μ = 2$ D、按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m ， 40，50；乙组：24，n ， 33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 $m + n = 70$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称； B、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称； C、将函数 $f (x)$ 图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，可得到余弦函数 $g (x) = c o s x$ 的图象； D、若方程 $f (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是 $(- 2 ， - \sqrt{3}]$ ．

查看试题解析
11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 ${a_{n}}$ ，正方形数构成数列 ${b_{n}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} + ⋯ + \frac{1}{b_{n}} < 2$ ； B、1225既是三角形数，又是正方形数； C、 $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{b_{i + 1} - a_{i + 1}} = \frac{9}{5}$ ； D、 $\forall m \in N^{*}$ ， $m \geq 2$ 总存在 $p$ ， $q \in N^{*}$ ，使得 $b_{m} = a_{p} + a_{q}$ 成立；

查看试题解析
12. $A B$ 为抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的弦， $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 分别过 $A ， B$ 作的抛物线的切线交于点 $M (x_{0} ， y_{0})$ ，称 $△ A M B$ 为阿基米德三角形，弦 $A B$ 为阿基米德三角形的底边．若弦 $A B$ 过焦点 $F$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 2 x_{0}$ B、底边 $A B$ 的直线方程为 $x_{0} x - p (y + y_{0}) = 0$ ； C、 $△ A M B$ 是直角三角形； D、 $△ A M B$ 面积的最小值为 $2 p^{2}$ ．

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. ${(2 x^{3} - \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式中 $x^{10}$ 项的系数为．

查看试题解析
14. 某篮球队教练对近两年队员甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次．用该样本的频率估计概率，则甲参加比赛时，该该球队某场比赛获胜的概率为．

查看试题解析
15. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 5$ ， $B C = 12$ ， $∠ C = 90 °$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C = 2$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是．

查看试题解析
16. 已知 $f (x) = \frac{a e^{x}}{x} + l n x - x (a > 0)$ 存在两个极小值点，则 $a$ 的取值范围是．

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在 $△ A B C$ 中，设角 $A ， B ， C$ 所对的边长分别为 $a ， b ， c$ ，且 $(c - b) s i n C = (a - b) (s i n A + s i n B)$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 上点， $A D$ 平分角 $A$ ，且 $b = 3$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，求 $\frac{B D}{D C}$ ．

查看试题解析
18. 已知各项为正的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = \frac{1}{4} {(a_{n} + 1)}^{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{2^{n}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
19. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D$ ，过棱 $P C$ 的中点 $E$ ，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ ，连接 $D E ， D F ， B D ， B E$ ．

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、若 $B C = \sqrt{2} D C$ ，求平面 $D E F$ 与平面 $A B C D$ 所成锐二面角的大小．

查看试题解析
20. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，点 $M (3 ， - 1)$ 在双曲线 $C$ 上．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $F$ 为双曲线的左焦点，过点 $F$ 作直线 $l$ 交 $C$ 的左支于 $A ， B$ 两点．点 $P (- 4 ， 2)$ ，直线 $A P$ 交直线 $x = - 2$ 于点 $Q$ ．设直线 $Q A ， Q B$ 的斜率分别 $k_{1} ， k_{2}$ ，求证： $k_{1} - k_{2}$ 为定值．

查看试题解析
21. 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．

(1)、为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力 $x$ 和判断力 $y$ 进行统计分析，得到下表数据，
$x$
6
8
9
10
12
$y$
2
3
4
5
6
请用相关系数说明该组数据中 $y$ 与 $x$ 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ．

(2)、现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为 $\frac{2}{5}$ ，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为 $m$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ，其中 $0 < m < 1$ ，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时 $m$ 的取值范围．
参考公式：
①线性相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2})}}$ ，一般地，相关系数 $r$ 的绝对值在 $0.95$ 以上（含 $0.95$ ）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
②对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， … $(x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = l n x - (m - 1) x + 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 存在极值，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m = 0$ ，已知方程 $f (\frac{x}{e^{a x}}) = 2$ 有两个不同的实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $a \in R$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2 e l n \frac{1}{a}$ ．（其中 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数）

查看试题解析

$x$	6	8	9	10	12
$y$	2	3	4	5	6