湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高三上册数学月考(二)试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} x < 3}$ ， $B = {x | x = 3 k - 1 ， k \in N}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 2 ， 5 ， 8}$ B、 ${- 1 ， 2 ， 5}$ C、 ${2 ， 5 ， 8}$ D、 ${2 ， 5}$

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2. 若虚部大于0的复数 $z$ 满足方程 $z^{2} + 4 = 0$ ，则复数 $\frac{z}{1 + z}$ 的共轭复数为（）

A、 $\frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $\frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $- \frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$

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3. 古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ ， $⋯$ ，如图，则 $c o s ∠ B A D =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{6} - 3 \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3}}{6}$

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4. 设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为θ ，定义 $\vec{a} \oplus \vec{b} = | \vec{a} s i n θ - \vec{b} c o s θ |$ ，已知 $\vec{a} = (3 ， 4)$ ， $\vec{b} = (4 ， - 3)$ ，则 $\vec{a} \oplus \vec{b} =$ （）

A、 $(3 ， 4)$ B、 $(- 4 ， 3)$ C、5 D、25

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5. 血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的 $40 %$ ，当血药浓度为峰值的 $1.024 %$ 时，给药时间为（）

A、11小时 B、13小时 C、17小时 D、19小时

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6. 对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知 $a = 6^{l n 5}$ ， $b = 7^{l n 4}$ ， $c = 8^{l n 3}$ ，要比较 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小，我们就可通过构造函数 $f (x) = l n x l n (11 - x)$ 来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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7. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $\frac{π}{2} < φ < π$ ）的部分图象如图所示，若 $g (x) = f (x) + 1$ 在 $[\frac{π}{6} ， π]$ 上有且仅有3个零点，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $3$ C、 $\frac{19}{6}$ D、 $\frac{9}{2}$

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8. 定义在 $R$ 上的不恒为零的偶函数 $f (x)$ 满足 $x f (x + 2) = (x + 2) f (x)$ ，且 $f (2) = 4$ .则 $\sum_{k = 1}^{5} [f (2 k) + f (- 2 k)] =$ （）

A、30 B、60 C、90 D、120

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二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位：℃）的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有（）

A、一个都没有 B、甲地 C、乙地 D、丙地

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10. 点 $P$ 是直线 $y = 3$ 上的一个动点，过点 $P$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线， $A ， B$ 为切点，则（）

A、存在点 $P$ ，使得 $∠ A P B = 9 0^{∘}$ B、弦长 $A B$ 的最小值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ C、点 $A ， B$ 在以 $O P$ 为直径圆上 D、线段 $A B$ 经过一个定点

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11. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是梯形， $A B ∥ C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $B C = C D = 4$ ， $D D_{1} = A B = 2$ ， P是棱 $C C_{1}$ 的中点．Q是棱 $C_{1} D_{1}$ 上一动点（不包含端点），则（）

A、 $A C$ 与平面BPQ有可能平行 B、 $B_{1} D_{1}$ 与平面BPQ有可能平行 C、三角形BPQ周长的最小值为 $\sqrt{17} + \sqrt{29}$ D、三棱锥 $A - B P Q$ 的体积为定值

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12. 设正整数 $n = a_{0} \cdot 9^{0} + a_{1} \cdot 9^{1} + \cdot \cdot \cdot + a_{k - 1} \cdot 9^{k - 1} + a_{k} \cdot 9^{k}$ ，其中 $a_{i} \in {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8} (i = 0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， k)$ .记 $ω (n) = a_{0} + a_{1} + \cdot \cdot \cdot + a_{k}$ ，则（）

A、 $ω (11) = 3$ B、 $ω (81 n + 29) = ω (n) + 5$ C、 $ω (9 n + 10) = ω (n) + 1$ D、 $ω (\frac{9^{n} - 1}{8}) = n$

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三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. $(2 x + 1) {(x + 1)}^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为.（用数字作答）

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14. 写出一个同时具有下列两个性质的函数 $f (x)$ ：.
① $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， 2)$ ；②当 $x \in (- \infty ， + \infty)$ 时， $f^{'} (x) > 0$ .

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15. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右支上有一点 $M$ ，满足 $∠ F_{1} M F_{2} = 90 °$ ， $△ F_{1} M F_{2}$ 的内切圆与 $y$ 轴相切，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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16. 已知正四面体 $A - B C D$ 的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体 $A - B C D$ 表面上任意一点，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最小值为．

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四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{2}{3}$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 1}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 是等比数列；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} < 100$ ，求满足条件的最大整数n.

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18. 如图所示，等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A D = A B = B C = 2$ ， $C D = 4$ ， E为 $C D$ 中点， $A E$ 与 $B D$ 交于点O ，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，使点D到达点P的位置（ $P \notin$ 平面 $A B C E$ ）.

(1)、证明：平面 $P O B ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P B = \sqrt{6}$ ，试判断线段 $P B$ 上是否存在一点Q（不含端点），使得直线 $P C$ 与平面 $A E Q$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，若存在，求三棱锥 $P - A Q E$ 的体积，若不存在，说明理由.

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19. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C所对边分别为a ， b ， c ，点O为 $△ A B C$ 的内心，记 $△ O B C$ ， $△ O A C$ ， $△ O A B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，已知 $S_{1}^{2} + S_{3}^{2} - S_{1} S_{3} = S_{2}^{2}$ ， $A B = 2$ .

(1)、在① $a c o s C + c c o s A = 1$ ；② $4 s i n B s i n A + c o s 2 A = 1$ ；③ $\frac{1 - 2 c o s A}{s i n A} + \frac{1 - 2 c o s B}{s i n B} = 0$ 中选一个作为条件，判断 $△ A B C$ 是否存在，若存在，求出 $△ A B C$ 的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{l n x}{a}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上是减函数，求实数 $a$ 的最大值；

(2)、若 $0 < a < 1$ ，求证： $f (x) \geq \frac{2 + l n a}{a}$ .

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21. 新高考数学试卷中有多项选择题，每道多项选择题有A ， B ， C ， D这四个选项，四个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.某次多项选择题专项训练中，共有 $k (k \in N^{*})$ 道题，正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为 $\frac{1}{3}$ ，并且规定若第 $i (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， k - 1)$ 题正确选项为两个，则第 $i + 1$ 题正确选项为两个的概率为 $\frac{1}{3}$ ；若第 $i (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， k - 1)$ 题正确选项为三个，则第 $i + 1$ 题正确选项为三个的概率为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、求第n题正确选项为两个的概率；

(2)、请根据期望值来判断：第二题是选一个选项还是选两个选项，更能获得较高分.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过 $(1 ， \frac{3}{2})$ 和 $(\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ 两点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ， B ，当动点M在定直线 $x = 4$ 上运动时，直线 $A M$ ， $B M$ 分别交椭圆于两点P和Q.
①证明：点B在以 $P Q$ 为直径的圆内；
②求四边形 $A P B Q$ 面积的最大值.

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