湖北省武汉市江汉区2023-2024学年高二上册数学新起点摸底试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：开学考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $[0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 3]$ C、 $(2 ， 3]$ D、 $[0 ， 2)$

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2. 若复数z的虚部小于0，且 $z^{2} = - 1$ ，则 $z (1 - z) =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 某中学高三年级共有学生 $600$ 人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 $20$ 的样本，若样本中共有女生 $11$ 人，则该校高三年级共有男生人．（）

A、 $285$ B、 $270$ C、 $315$ D、 $330$

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4. 已知 $a = l o g_{0.3} 0.7$ ， $b = 0 . 7^{- 0.3}$ ， $c = l o g_{7} 3$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $- 3 \vec{b}$ B、 $3 \vec{b}$ C、 $\sqrt{3} \vec{b}$ D、 $- \sqrt{3} \vec{b}$

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6. 著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏 $.$ 今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是 $1 %$ ，一年后是 $1.0 1^{365}$ ；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是 $1 %$ ，一年后是 $0.9 9^{365} .$ 可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的 $\frac{1.0 1^{365}}{0.9 9^{365}} \approx 1481$ 倍 $.$ 那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是 $20 %$ ，要使“进步”是“落后”的 $1000$ 倍，大约需要经过 $(l g 2 \approx 0.301 ， l g 3 \approx 0.477)$ （）

A、 $17$ 天 B、 $19$ 天 C、 $21$ 天 D、 $23$ 天

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7. 若函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0 ， \frac{π}{6})$ 有最小值无最大值，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[5 ， 11)$ B、 $(2 ， 14]$ C、 $[2 ， 14)$ D、 $(5 ， 11]$

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8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 为等腰三角形， $∠ A B C = 120 °$ ，且 $A C = P A$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A ⊥ B C$ ，点 $Q$ 为三棱锥 $P - A B C$ 外接球 $O$ 上一动点，且点 $Q$ 到平面 $P A C$ 的距离的最大值为 $1 + \sqrt{7}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $7 π$ B、 $14 π$ C、 $28 π$ D、 $35 π$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知 $m$ 、 $n$ 是两条不同直线， $α$ ， $β$ 是两个不同平面，则下列命题错误的是（）

A、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / α$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m / / α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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10. 下列四个结论中正确的是（）

A、命题“ $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 2 x - 1 < 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \in R$ ， $3 x_{0}^{2} - 2 x_{0} - 1 > 0$ ” B、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a^{2} > b^{2}$ ”的充分不必要条件是“ $a > b$ ” C、若“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} - a < 0$ ”为假命题，则 $a \leq - 1$ D、若函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 4$ 在区间 $[0 ， m]$ 上的最大值为 $4$ ，最小值为 $3$ ，则实数 $m$ 的取值范围是 $[1 ， 2]$

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11. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ，则角 $C$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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12. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如武汉东湖的“东湖之眼”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度 $55$ 米，转盘直径为 $50$ 米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转 $t$ 分钟，当 $t = 10$ 时，游客随舱旋转至距离地面最远处 $.$ 以下关于摩天轮的说法中，正确的为（）

A、摩天轮离地面最近的距离为 $5$ 米 B、若旋转 $t$ 分钟后，游客距离地面的高度为 $h$ 米，则 $h = - 25 c o s (\frac{π}{10} t) + 30$ C、存在 $t_{1}$ ， $t_{2} \in [0 ， 15]$ ，使得游客在该时刻距离地面的高度均为 $20$ 米 D、若在 $t_{1}$ ， $t_{2}$ 时刻游客距离地面的高度相等，则 $t_{1} + t_{2}$ 的最小值为 $20$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 有一组按从小到大顺序排列的数据： $3$ ， $5$ ， $x$ ， $8$ ， $9$ ， $10$ ，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为．

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14. 若 $s i n α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $s i n (\frac{3 π}{2} + 2 α) =$ ．

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15. 已知 $l o g_{3} a + l o g_{3} b = l o g_{3} (a + 2 b)$ ，则 $l o g_{3} (2 a + b)$ 的最小值为．

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16. 设函数 $f (x) = e^{x - 1} + e^{1 - x} + x^{2} - 2 x$ ，则使得 $f (2 x) < f (x + 3)$ 成立的 $x$ 的取值范围是．

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ．

(1)、求 $c o s 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ ；

(2)、若 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，求 $| \vec{B C} |$ ．

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18. 甲、乙、丙三人各自独立地破译某密码，已知甲、乙都译出密码的概率为 $\frac{1}{20}$ ，甲、丙都译出密码的概率为 $\frac{1}{24}$ ，乙、丙都译出密码的概率为 $\frac{1}{30}$ ．

(1)、分别求甲、乙、丙三人各自译出密码的概率；

(2)、求密码被破译的概率．

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19. 已知函数 $f (x) = c o s (x - \frac{π}{6}) s i n x + s i n (x - \frac{π}{6}) c o s x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $f (A) = 1$ ，求 $\frac{b + c}{a}$ 的取值范围．

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ， $A_{1} C ⊥ A_{1} C_{1}$ ， $A_{1} B = A B$ ．

(1)、求 $A_{1} A$ 与平面 $A B C$ 所成的角；

(2)、若 $C C_{1} = C B = 6$ ，求四棱锥 $A_{1} - B B_{1} C_{1} C$ 的体积．

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21. 某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分 $100$ 分 $(95$ 分及以上为认知程度高 $)$ ，结果认知程度高的有 $m$ 人，按年龄分成 $5$ 组，其中第一组： $[20 ， 25)$ ，第二组： $[25 ， 30)$ ，第三组： $[30 ， 35)$ ，第四组： $[35 ， 40)$ ，第五组： $[40 ， 45]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有 $10$ 人．

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $m$ 人年龄的第 $75$ 百分位数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取 $40$ 人，担任“民法典”知识的宣传使者．
①若有甲 $($ 年龄 $23)$ ，乙 $($ 年龄 $43)$ 两人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取 $2$ 名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为 $36$ 和 $1$ ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为 $42$ 和 $2$ ，据此估计这 $m$ 人中 $35 ～ 45$ 岁所有人的年龄的方差．

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22. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 4$ ， $A D ⊥ D B$ ，如图甲所示，作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 翻折，使点 $A$ 与点 $P$ 重合，如图乙所示．

(1)、设平面 $P E B$ 与平面 $P D C$ 的交线为 $l$ ，判断 $l$ 与 $C D$ 的位置关系，并证明；

(2)、当四棱锥 $P - B C D E$ 的体积最大时，求二面角 $P - B C - D$ 的正弦值；

(3)、在(2)的条件下， $G$ 、 $H$ 分别为棱 $D E$ ， $C D$ 的点，求空间四边形 $P G H B$ 周长的最小值．

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