江苏省南京市六校联考2023-2024学年高三上册数学月考试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，则 $| z |$ 等于（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

查看试题解析
2. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 2 < 0}$ ， $B = {x | l g x < 1}$ ， $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(- 2 ， 10)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 10)$

查看试题解析
3. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 5$ ， $a_{4} + a_{8} = 26$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、 $45$ B、 $49$ C、 $56$ D、 $63$

查看试题解析
4. 从 $2$ 位男生， $3$ 位女生中安排 $3$ 人到三个场馆做志愿者，每个场馆各 $1$ 人，且至少有 $1$ 位男生入选，则不同安排方法有种（）

A、 $16$ B、 $36$ C、 $54$ D、 $96$

查看试题解析
5. “ $m = 8$ ”是“直线 $5 x + 12 y + m = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 相切”的条件．（）

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

查看试题解析
6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点， $F_{1} Q$ 与 $y$ 轴的交点为 $R$ ， $F_{1} Q ⊥ P R$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
7. 已知 $t a n (\frac{π}{3} + θ) = \frac{3}{4}$ ，则 $s i n (2 θ + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f' (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f' (x)$ ，若 $f (2 x + 1)$ ， $g (x - 1)$ 均为偶函数，则下列等式一定正确的是（）

A、 $f (- 1) = 0$ B、 $f (- 3) = f (5)$ C、 $g (2) = 0$ D、 $g (- \frac{1}{2}) = g (\frac{7}{2})$

查看试题解析

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 给出下列命题中，其中正确的命题是（）

A、随机变量 $X ～ B (4 ， \frac{1}{4})$ ，则 $E (X) = 1$ B、已知 $P (B | A) = \frac{1}{4}$ ， $P (A B) = \frac{1}{8}$ ，则 $P (A) = \frac{1}{4}$ C、随机变量 $X ～ N (2 ， 3^{2})$ ，若 $X = \frac{1}{3} Y - 2$ ，则 $E (Y) = 12$ ， $D (Y) = 81$ D、以模型 $y = (c - 1) e^{2 k x}$ 拟合一组数据时，为了求回归方程，设 $z = l n y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = \frac{1}{2} x + 2$ ，则 $c$ ， $k$ 的值分别是 $e^{2} - 1$ 和 $0.2$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则（）

A、函数解析式 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、将函数 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度可得函数 $f (x)$ 的图象 C、直线 $x = - \frac{11}{12} π$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上的最大值为 $2$

查看试题解析
11. 如果有限数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{i} = a_{n - i + 1} (i = 1 ， 2 ， \dots ， n)$ ，则称其为“对称数列”，设 ${b_{n}}$ 是项数为 $2 k - 1 (k \in N^{*})$ 的“对称数列”，其中 $b_{k}$ ， $b_{k + 1}$ ， $\dots$ ， $b_{2 k - 1}$ 是首项为 $50$ ，公差为 $- 4$ 的等差数列，则（）

A、若 $k = 10$ ，则 $b_{1} = 10$ B、若 $k = 10$ ，则 ${b_{n}}$ 所有项的和为 $590$ C、当 $k = 13$ 时， ${b_{n}}$ 所有项的和最大 D、 ${b_{n}}$ 所有项的和可能为 $0$

查看试题解析
12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，将 $△ A B M$ 沿直线 $A M$ 翻折到 $△ A B_{1} M$ 的位置，连接 $B_{1} C$ 和 $B_{1} D$ ， $N$ 为 $B_{1} D$ 的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（）

A、面 $A B_{1} M ⊥$ 面 $B_{1} M C$ B、线段 $C N$ 长度的取值范围为 $[1 ， \sqrt{3}]$ C、直线 $A M$ 和 $C N$ 所成的角始终为 $\frac{π}{6}$ D、当三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的体积最大时，点 $C$ 在三棱锥 $B_{1} - A M D$ 外接球的外部

查看试题解析

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. $(\frac{\sqrt{x}}{3} - \frac{2}{x})^{6}$ 的展开式的中间项的系数是 $($ 用数字作答 $)$ ．

查看试题解析
14. 已知向量 $\vec{a} = (5 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为．

查看试题解析
15. 函数 $f (x) = (x^{2} + 1) l n x - m (x^{2} - 1)$ 为在定义域内为增函数，则实数 $m$ 的取值范围为．

查看试题解析
16. 如图 $C$ 是圆台母线 $A B$ 的中点， $B D$ 是底面的直径，上底面半径为 $1$ ，下底面半径为 $2$ ， $A B = 2$ ，点 $M$ 是弧 $B D$ 的中点，则 $C$ 、 $M$ 两点在圆台侧面上连线长最小值的平方等于．

查看试题解析

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 3$ ， $S_{n} = a_{n} + n^{2} - 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ， $T_{n} = b_{1} b_{2} + b_{2} b_{3} + \dots + b_{n} b_{n + 1}$ ，求 $T_{n}$ ．

查看试题解析
18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
      $① (a + c) (s i n A - s i n C) + (b - a) s i n B = 0$ ；
      $② 2 \sqrt{3} s i n C c o s C = 1 + 2 c o s^{2} C$ ；
      $③ 2 s i n B - s i n A = 2 s i n C c o s A$ ．
在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 4$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

查看试题解析
19. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = C D = 2$ ， $A D = A B = 1$ ， $A B ⊥ D A$ ， $A B / / C D$ ．

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、设 $M$ 是棱 $P C$ 上的点，若二面角 $M - B D - A$ 的余弦值为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，试求直线 $B C$ 与平面 $B D M$ 所成角的正弦值．

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，上顶点为 $B$ ， $c o s ∠ A_{1} B A_{2} = - \frac{3}{5}$ ， $C$ 的长轴长比短轴长大 $4$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、斜率存在且不为 $0$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点 $($ 异于点 $A_{1})$ ，且 $| \vec{A_{1} P} + \vec{A_{1} Q} | = | \vec{A_{1} P} - \vec{A_{1} Q} |$ ，证明：直线 $l$ 恒过定点，并求出定点坐标．

查看试题解析
21. 2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策” $.$ 某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午 $9$ ： $20 ～ 10$ ： $40$ 这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有 $600$ 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段 $9$ ： $20 ～ 9$ ： $40$ 记作区 $[20 ， 40)$ ， $9$ ： $40 ～ 10$ ： $00$ 记作 $[40 ， 60)$ ， $10$ ： $00 ～ 10$ ： $20$ 记作 $[60 ， 80)$ ， $10$ ： $20 ～ 10$ ： $40$ 记作 $[80 ， 100)$ ，例如 $10$ 点 $04$ 分，记作时刻 $64$ ．

(1)、估计这 $600$ 辆车在 $9$ ： $20 ～ 10$ ： $40$ 时间内通过该收费点的时刻的平均值 $($ 同一组中的数据用该组区间的中点值代表 $)$ ；

(2)、为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 $600$ 辆车中抽取 $10$ 辆，再从这 $10$ 辆车随机抽取 $4$ 辆，设抽到的 $4$ 辆车中，在 $9$ ： $20 ～ 10$ ： $00$ 之间通过的车辆数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；

(3)、由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻 $T$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 可用这 $600$ 辆车在 $9$ ： $20 ～ 10$ ： $40$ 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替， $σ^{2}$ 可用样本的方差近似代替 $($ 同一组中的数据用该组区间的中点值代表 $)$ ，已知大年初五全天共有 $1000$ 辆车通过该收费点，估计在 $9$ ： $46 ～ 10$ ： $40$ 之间通过的车辆数 $($ 结果保留到整数 $)$ ．
若 $T ～ N (μ ， σ^{2})$ 则 $P (μ - σ < T \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < T \leq σ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < T \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - x$ ， $g (x) = x^{2} + a x + b$ ， $a$ ， $b \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 的单调区间．

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线 $l$ 与曲线 $y = g (x)$ 切于点 $(1 ， c)$ ，求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值．

(3)、若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求 $a + b$ 的最大值．

查看试题解析