浙江省杭州第二名校2023-2024学年高三上册数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $U = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，集合 $A = {x | l o g_{2} (x + 1) < 1}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 1]$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $[1 ， 3)$

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2. 设 $i$ 是虚数单位，已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1 + (a - 1) i$ $(a \in R)$ ，且复数 $z$ 是纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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3. 为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2， $m$ ， 36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7， $n$ ， 37.1（单位：℃）
若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则 $n - m$ 为（）

A、0.6 B、0.5 C、0.4 D、0.3

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4. 苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成 $N = a \times 1 0^{n} (1 \leq a < 10 ， n \in Z)$ ，则 $l g N = n + l g a (0 \leq l g a < 1)$ ，这样我们可以知道N的位数.已知正整数 $M^{31}$ 是35位数，则M的值为（）
N
2
3
4
5
11
12
13
14
15
$l g N$
0.30
0.48
060
070
1.04
1.08
1.11
1.15
1.18

A、3 B、12 C、13 D、14

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $P (3 ， 4)$ ，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， \sqrt{6}]$ B、 $[3 ， 5]$ C、 $[4 ， 6]$ D、 $[15 ， 35]$

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6. 已知两个圆锥的母线长均为6，它们的侧面展开图恰好拼成一个半圆，若它们的侧面积之比是1：2，则它们的体积之和是（）

A、 $\frac{\sqrt{35} + 16 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{32 \sqrt{5} + 16 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{16 \sqrt{70}}{9} π$ D、 $(\sqrt{35} + 16 \sqrt{2}) π$

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7. 已知 $c o s (40 ° - θ) + c o s (40 ° + θ) + c o s (80 ° - θ) = 0$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 已知 $6^{p} = 7$ ， $7^{q} = 8$ ， $p^{r} = q$ ，则p ， q ， r的大小关系为（）

A、 $r > p > q$ B、 $q > p > r$ C、 $p > r > q$ D、 $p > q > r$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在住小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知两个离散型随机变量 $X ， Y$ ，满足 $Y = 2 X + 1$ ，其中 $X$ 的分布列如下：
          $X$
0
1
2
          $P$
          $a$
          $b$
          $\frac{1}{6}$
若 $E (X) = 1$ ，则（）．

A、 $a = \frac{1}{6}$ B、 $b = \frac{2}{3}$ C、 $E (Y) = 2$ D、 $D (Y) = \frac{4}{3}$

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10. 已知 $k \in Z$ ，则函数 $f (x) = x^{k} \cdot (2^{x} + 2^{- x})$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，点P为圆C： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 17 = 0$ 上的动点，则（）

A、 $△ P A B$ 面积的最小值为 $8 - 4 \sqrt{2}$ B、 $A P$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $∠ P A B$ 的最大值为 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\vec{A B} \cdot \vec{A P}$ 的最大值为 $8 + 4 \sqrt{2}$

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12. 过平面内一点P作曲线 $y = | l n x |$ 两条互相垂直的切线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ，切点为 $P_{1}$ 、 $P_{2} (P_{1}$ 、 $P_{2}$ 不重合 $)$ ，设直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别与y轴交于点A、B，则（）

A、 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 两点的纵坐标之积为定值 B、直线 $P_{1} P_{2}$ 的斜率为定值 C、线段AB的长度为定值 D、 $△ A B P$ 面积的取值范围为 $(0 ， 1)$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知变量 $x$ 和 $y$ 的统计数据如下表：
          $x$
6
7
8
9
10
          $y$
3.5
4
5
6
6.5
若由表中数据得到经验回归直线方程为 $\hat{y} = 0.8 x + \hat{a}$ ，则 $x = 10$ 时的残差为（注：观测值减去预测值称为残差）.

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14. 已知多项式 $(x + 2)^{3} (x - 1)^{4} = a_{1} (x + 1)^{7} + a_{2} (x + 1)^{6} + ⋯ + a_{7} (x + 1) + a_{8}$ ，则 $a_{7} =$ .

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15. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，以线段 $O F$ （ $O$ 为坐标原点）为直径的圆交双曲线 $C$ 的一条渐近线于 $O ､ A$ 两点，且 $| O A | = 2 | A F |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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16. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ，且 $f (x) + f (y) = f (x y)$ ， $f (a_{n}) = n + f (\frac{1}{n})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{100} f (i a_{i}) =$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知 $△ A B C$ 中角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $2 c s i n A c o s B + 2 b s i n A c o s C = \sqrt{3} a ， c > a$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $b = 2 ， △ A B C$ 的面积 $2 \sqrt{3} ， D$ 是 $B C$ 边上的点，且 $\vec{C D} = 3 \vec{D B}$ ，求 $A D$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 成等比数列， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项的和，若 $S_{k + 1} ， S_{k + 3} ， S_{k + 2} (k \in N^{*})$ 成等差数列.

(1)、证明： $a_{k + 1} ， a_{k + 3} ， a_{k + 2}$ 成等差数列；

(2)、比较 $S_{k + 1}^{2} + S_{k + 2}^{2}$ 与 $2 S_{k + 3}^{2}$ 的大小.

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19. 如图1，在边长为4的等边 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A C$ ， $A B$ 的中点．将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折至 $△ P D E$ （如图2），使得 $P B = \sqrt{10}$ ．

(1)、证明：平面 $P D E ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、若点 $M$ 在棱 $P D$ 上，当 $M B$ 与平面 $P D E$ 所成角最大时，求 $M B$ 的长．

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20. 甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为 $α$ ，乙获胜的概率为 $β$ ，两人平局的概率为 $γ (α + β + γ = 1 ， α > 0 ， β > 0 ， γ \geq 0)$ ，且每局比赛结果相互独立.

(1)、若 $α = \frac{1}{2} ， β = \frac{1}{3} ， γ = \frac{1}{6}$ ，求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率；

(2)、当 $γ = 0$ 时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数 $X$ 的分布列及期望 $E (X)$ 的最大值.

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21. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $O$ 为坐标原点，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支相交于 $A ， B$ 两点.

(1)、当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时， $O A ⊥ O B$ ，求 $C$ 的离心率；

(2)、当 $C$ 的焦距为2时， $∠ A O B$ 恒为锐角，求 $C$ 的实轴长的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x + k s i n x$ ，其中 $0 < k \leq 1$ ．

(1)、设函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - f (x)$ ，证明：
① $g (x)$ 有且仅有一个极小值点；
②记 $x_{0}$ 是 $g (x)$ 的唯一极小值点，则 $g (x_{0}) < - \frac{1}{2} x_{0}$ ；

(2)、若 $k = 1$ ，直线 $l$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线 $l$ 的方程．

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N	2	3	4	5	11	12	13	14	15
$l g N$	0.30	0.48	060	070	1.04	1.08	1.11	1.15	1.18

$X$	0	1	2
$P$	$a$	$b$	$\frac{1}{6}$

$x$	6	7	8	9	10
$y$	3.5	4	5	6	6.5