广东省广州市天河区2023-2024学年高一上册数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：月考试卷

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一、选择题（每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列关系正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \notin R$ B、 $N \in Q$ C、 $0 \in \emptyset$ D、 $\emptyset \subseteq {0}$

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2. 对于任意实数a ， b ， c ， d ，有以下四个命题：
①若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ ； ②若 $a > b ， c > d$ ，则 $a + c > b + d$ ；
③若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c < b d$ ； ④若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. “方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 至多有一个实数解”的一个充要条件是（）

A、 $m \geq 1$ B、 $m \leq 1$ C、 $m \geq 2$ D、 $m \geq 0$

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4. 已知条件p： $- 1 < x < 1$ ， q： $x > m$ ，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）

A、 ${m | m \geq - 1}$ B、 ${m | m < - 1}$ C、 ${m | - 1 < m < 0}$ D、 ${m | m \leq - 1}$

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5. 设集合 $A = {x | x^{2} - 5 x + 6 > 0}$ ， $B = {x | x - 1 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- 3 ， - 1)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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6. 若不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数x都成立，则k的取值范围为（）

A、 $- 3 < k \leq 0$ B、 $- 3 \leq k < 0$ C、 $- 3 \leq k \leq 0$ D、 $- 3 < k < 0$

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7. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（）名

A、7 B、8 C、9 D、10

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8. 若不等式组 ${\begin{cases} x^{2} - 2 x - 3 \leq 0 \\ x^{2} + 4 x - (1 + a) \leq 0 \end{cases}$ 的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \geq - 5$ B、 $a \geq - 4$ C、 $a \leq - 4$ D、 $a \leq - 5$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知集合 $A = {0 ， 1}$ ， $B = {x | a x^{2} + x - 1 = 0}$ ，若 $A \supseteq B$ ，则实数a的取值可以是（）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 设非空集合P ， Q满足 $P ∩ Q = Q$ ，且 $P \neq Q$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $\forall x \in Q$ ，有 $x \in P$ B、 $\exists x \in P$ ，使得 $x \notin Q$ C、 $\exists x \notin Q$ ，使得 $x \in P$ D、 $\forall x \notin Q$ ，有 $x \notin P$

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11. 下列选项正确的有（）

A、若x>0，则x+ $\frac{1}{x + 1}$ 有最小值1 B、若x∈R，则 $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 有最大值1 C、若x>y，则x³+2xy²>y³+2x²y D、若x<y<0，则 $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$

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12. 已知关于x的不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $a < b < 1$ 时，不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集为 $\emptyset$ B、当 $a = 2$ 时，不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集可以为 ${x | c \leq x \leq d}$ 的形式 C、不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集恰好为 ${x | a \leq x \leq b}$ ，那么 $b = \frac{4}{3}$ 或 $b = 4$ D、不等式 $a \leq \frac{3}{4} x^{2} - 3 x + 4 \leq b$ 的解集恰好为 ${x | a \leq x \leq b}$ ；那么 $b - a = 4$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 命题： $\exists x \in Q$ ， $x^{3} + x \neq 0$ 的否定是．

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14. 若 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $4 x + 2 y$ 的最小值为．

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15. 已知集合 $A = {x | m x^{2} + 2 x + 2 = 0}$ 中有两个元素，则实数m满足的条件为．

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16. 已知 $A = 1 + a^{2}$ ， $B = 1 - a$ ， $C = \frac{1}{1 + a}$ ， $D = \frac{1}{1 - a}$ 为四个互不相等的实数．若A ， B ， C ， D中C最大，则实数a的取值范围为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知全集 $U = {x | - 6 \leq x \leq 5}$ ， $M = {x | - 3 < x \leq 2}$ ， $N = {x | 0 < x < 2}$ ．

(1)、求 $M ∩ (∁_{U} N)$ ；

(2)、若 $C = {x | a \leq x \leq 2 a - 1}$ 且 $C \subseteq (∁_{U} M)$ ，求a的取值范围．

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18. 已知不等式 $x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | x > 2 或 x < 1}$ ．

(1)、求b和c的值；

(2)、求不等式 $c x^{2} + b x + 1 \leq 0$ 的解集.

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19. 动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．

(1)、现有36m长的钢筋网材料；x ， y的值分别为多少时，每间虎笼的面积最大，最大值为多少？

(2)、若每间虎笼的面积为 $20 m^{2}$ ， x ， y的值分别为多少时，围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值是多少？

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20. 已知集合 $A = {2 ， 6}$ ．

(1)、若集合 $B = {a + 1 ， a^{2} - 23}$ ，且 $A = B$ ，求a的值；

(2)、若集合 $C = {x | a x^{2} - x + 6 = 0}$ ，且A与C有包含关系，求a的取值范围．

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21. 设 $y = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2$ ．

(1)、命题p： $\exists x \in R$ ，使得 $y < - 2$ 成立．若p为假命题，求实数a的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $a x^{2} + (1 - a) x + a - 2 < a - 1 (a \in R)$ ．

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22. 已知集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n}} (0 \leq a_{1} < a_{2} < \cdot \cdot \cdot < a_{n} ， n \in N^{*} ， n \geq 3)$ 具有性质P：对任意 $i ， j (1 \leq i \leq j \leq m)$ ， $a_{i} + a_{j}$ 与 $a_{j} - a_{i}$ 至少一个属于A ．

(1)、分别判断集合 $M = {0 ， 2 ， 4}$ ，与 $N = {1 ， 2 ， 3}$ 是否具有性质P ，并说明理由；

(2)、证明： $0 \in A$ ；

(3)、 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3}}$ 具有性质P ，当 $a_{2} = 4$ 时，求集合A ．

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