浙江省杭州市精诚联盟2023-2024学年高二上册数学10月月考试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 3) ， \vec{b} = (- 1 ， 0 ， 1)$ ，则 $\vec{a} + 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(- 1 ， 2 ， 5)$ B、 $(- 1 ， 4 ， 5)$ C、 $(1 ， 2 ， 5)$ D、 $(1 ， 4 ， 5)$

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2. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 6 = 0$ 的圆心和半径分别为（）

A、 $(1 ， 3)$ ， 2 B、 $(- 1 ， 3)$ ， 4 C、 $(1 ， - 3)$ ， 2 D、 $(1 ， - 3)$ ， 4

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3. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点.若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b} ， \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A M}$ 等于（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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4. 若过点 $P (- 1 ， 0)$ 的直线与以 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 2 ， \sqrt{3})$ 为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}) ∪ (\frac{π}{2} ， \frac{2 π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{6}]$ C、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{2 π}{3} ， π)$ D、 $[\frac{π}{4} ， \frac{2 π}{3}]$

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5. 已知直线 $l_{1}$ ： $a^{2} x - y + a^{2} - 3 a = 0$ ， $l_{2}$ ： $(4 a - 3) x - y - 2 = 0$ ，若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、－1或－3 C、1或3 D、3

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6. 已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E ， F分别为 $A D$ ， $A B$ 的中点，点P在 $C_{1} D_{1}$ 上运动，若异面直线 $E P$ ， $D F$ 所成的角为 $α$ ，则 $c o s α$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 已知点 $A (- 4 ， 1)$ 在直线 $l ： (2 m + 1) x - (m - 1) y - m - 5 = 0 (m \in R)$ 上的射影为点B ，则点B到点 $P (3 ， - 1)$ 距离的最大值为（）．

A、 $5 - \sqrt{10}$ B、5 C、 $5 + \sqrt{10}$ D、 $5 + 2 \sqrt{10}$

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8. 已知圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 和点 $P (- \frac{1}{2} ， 0)$ ，点 $B (2 ， 1)$ ， M为圆O上的动点，则 $2 | M P | + | M B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{15}$ B、 $1 + \sqrt{10}$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $3 + \sqrt{2}$

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二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错得或不选的得0分.

9. 已知直线 $l$ ： $(m + 2) x - y + m - 2 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $m = - 3$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为 $135 °$ B、若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，则 $m = - 3$ C、 $\exists m \in R$ ，原点 $(0 ， 0)$ 到直线 $l$ 的距离为5 D、直线 $l$ 与直线 $x + y = 0$ 垂直，则 $m = - 1$

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，正方形 $A B C D$ 的中心为 $O$ ，棱 $C C_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点分别为 $E$ ， $F$ ，则（）

A、 $\vec{O E} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{2}$ B、 $S_{△ F O E} = \frac{\sqrt{6}}{8}$ C、异面直线 $O D_{1}$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{6}$ D、点 $F$ 到直线 $O D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{14}}{4}$

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11. 已知曲线 $E$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = | x | + | y |$ ，则（）

A、曲线 $E$ 关于直线 $y = x$ 对称 B、曲线 $E$ 围成的图形面积为 $π + 2$ C、若点 $(x_{0} ， y_{0})$ 在曲线 $E$ 上，则 $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \leq x_{0} \leq \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ D、若圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 能覆盖曲线 $E$ ，则 $r$ 的最小值为 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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12. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ，点P满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $λ = 1$ 时， $△ A B_{1} P$ 的周长为定值 B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，存在两点P ，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，存在两点P ，使得 $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 2 ， 0)$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为.（用坐标表示）

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14. 已知直线 $l_{1}$ ： $x - 2 y - 2 = 0$ 的倾斜角为 $θ$ ，直线 $l_{2}$ 的倾斜角为 $2 θ$ ，且直线 $l_{2}$ 在y轴上的截距为 $- 3$ ，则直线 $l_{2}$ 的一般式方程为.

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15. 以三角形边 $B C$ ， $C A$ ， $A B$ 为边向形外作正三角形 $B C A^{'}$ ， $C A B^{'}$ ， $A B C^{'}$ ，则 $A A^{'}$ ， $B B^{'}$ ， $C C^{'}$ 三线共点，该点称为 $△ A B C$ 的正等角中心．当 $△ A B C$ 的每个内角都小于120°时，正等角中心点P满足以下性质：
① $∠ A P B = ∠ A P C = ∠ B P C = 120 °$ ；
②正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得 $\sqrt{x^{2} + (y - 1)^{2}} + \sqrt{x^{2} + (y + 1)^{2}} + \sqrt{(x - 2)^{2} + y^{2}}$ 的最小值为

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16. 正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AA₁＝4，E为AB的中点，点F满足 $\vec{C_{1} F} = 3 \vec{F C}$ ，动点M在侧面AA₁D₁D内运动，且MB∥平面D₁EF ，则|MD|的取值范围是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知三角形三顶点 $A (0 ， 1) ， B (- 2 ， 0) ， C (2 ， 0)$ ，求：

(1)、 $A C$ 边上的高所在的直线方程；

(2)、 $A B$ 边的中线所在的直线方程.

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18. 在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E F / / A B$ ， $A D = 2$ ， $A B = A F = 2 E F = 1$ ，点 $P$ 为棱 $D F$ 的中点.

(1)、求证： $B F / /$ 平面 $A P C$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $B C F$ 所成角的正弦值.

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19. 设直线l的方程为 $(a + 1) x + y - 5 - 2 a = 0 (a \in R)$

(1)、求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；

(2)、若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点 $A (x_{A} ， 0)$ ， $B (0 ， y_{B})$ ，当 $△ A O B$ 面积为12时，求 $△ A O B$ 的周长；

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20. 已知圆C过点 $A (4 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，且圆心C在直线l： $x + y - 6 = 0$ 上.

(1)、求圆C的方程；

(2)、若从点 $M (4 ， 1)$ 发出的光线经过直线 $y = x + 1$ 反射，反射光线 $l_{1}$ 恰好平分圆C的圆周，求反射光线 $l_{1}$ 所在直线的方程.

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形， $A B = A P = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E ， F$ 分别是线段 $P B ， P D$ 的中点， $G$ 是线段 $P C$ 上的一点.

(1)、求证：平面 $E F G ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若直线 $A G$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $G$ 点不是线段 $P C$ 的中点，求三棱锥 $E - A B G$ 体积.

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22. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为2的等边三角形， $C C_{1} = 2$ ， D ， E分别是线段AC ， $C C_{1}$ 的中点， $C_{1}$ 在平面ABC内的射影为D ．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面BDE；

(2)、若点F为线段 $B_{1} C_{1}$ 上的动点（不包括端点），求锐二面角 $F - B D - E$ 的余弦值的取值范围．

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