浙江省杭州市四校2023-2024学年高二上册数学10月联考试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1. 直线 $\sqrt{3} x + y - 1 = 0$ 的斜率与y轴上的截距分别为（）

A、 $\sqrt{3} ， 1$ B、 $- \sqrt{3} ， 1$ C、 $\sqrt{3} ， - 1$ D、 $- \sqrt{3} ， - 1$

查看试题解析
2. 如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数 $z = (2 - a i) i$ 为“等部复数”，则实数a的值为（）

A、-1 B、1 C、2 D、-2

查看试题解析
3. 平面 $α$ ， $β$ 互相平行的一个充分条件是（）

A、 $α$ ， $β$ 都垂直于同一平面 B、某一直线与 $α$ ， $β$ 所成角相等 C、 $α$ ， $β$ 都平行于同一直线 D、 $α$ ， $β$ 都垂直于同一直线

查看试题解析
4. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \frac{1}{2} A A_{1}$ ，那么异面直线 $B_{1} C$ 与 $A_{1} B$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

查看试题解析
5. 设非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，定义运算： $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | s i n θ$ .已知 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，则 $| \vec{a} \times \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{7}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

查看试题解析
6. 点 $P (x ， y)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上运动，则 $| 4 x - 3 y + 4 |$ 的取值范围（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[0 ， 9]$ C、 $[1 ， 8]$ D、 $[1 ， 9]$

查看试题解析
7. 在 $△ A B C$ 中， $A (- 1 ， 0)$ ， $B (0 ， 1)$ ，点C在直线 $y = x$ 上运动，则 $△ A B C$ 内切圆的半径的最大值是（）

A、 $3 - 2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

查看试题解析
8. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A D = B D = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B D C = 150 °$ ， $C D = 2$ ，二面角 $A - B D - C$ 的大小为 $60 °$ ，则该三棱锥外接球半径是（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{29}$ C、 $\sqrt{31}$ D、 $\sqrt{33}$

查看试题解析

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知实数 $a > b$ ， $c > 0$ ，那么（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $e^{a} > e^{b}$ C、 $a c > b c$ D、 $\frac{c}{b} > \frac{c}{a}$

查看试题解析
10. 已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则（）

A、圆台的母线长为4 B、圆台的高为4 C、圆台的表面积为 $26 π$ D、球O的表面积为 $12 π$

查看试题解析
11. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚正面朝上”，事件 $C =$ “两枚硬币朝上的面相同”，事件 $D =$ “两枚硬币朝上的面不同”，则（）

A、事件A和B互斥 B、事件C和D互斥 C、事件A和B相互独立 D、事件C和D相互独立

查看试题解析
12. 过抛物线 $y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{4}$ 上一点P作圆C： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的两条切线，切点为E ， F ，则（）

A、使 $P E ⊥ P F$ 的点P共有2个 B、 $| E F |$ 既有最大值又有最小值 C、使四边形 $P E C F$ 面积最小的点P有且只有一个 D、直线 $E F$ 过定点

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在空间直角坐标系中，若 $\vec{a} = (1 ， 1 ， - \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1 ， x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

查看试题解析
14. 设 $ω > 0$ ，若函数 $f (x) = c o s (ω x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有且仅有2个零点，则 $ω$ 的取值范围是.

查看试题解析
15. 直线l： $y = x$ 与圆C： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 交A ， B两点，若D为圆C上一点，且 $△ A B D$ 为等边三角形，则r的值为.

查看试题解析
16. 若关于x的方程 $a x^{2} - x - b = 0$ ；在 $[1 ， 2]$ 上有实数根，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值是.

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 如图，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A = A B = 2$ ， M ， N分别为 $A B$ ， $P C$ 的中点.

(1)、求证： $M N ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $P M C$ 与平面 $A B C D$ 所成锐二面角的余弦值.

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，a ， b ， c分别是角A ， B ， C的对边，且 $c o s^{2} \frac{A - B}{2} - c o s A c o s B = \frac{3}{4}$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $A B$ 边上高的最大值.

查看试题解析
19. 已知 $g (x)$ 为过点 $(2 ， 9)$ 的指数函数， $f (x) = \frac{m - g (x)}{1 + g (x)}$ 为定义域为R的奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意的 $t \in [0 ， 5]$ ，不等式 $f (t^{2} + 2 t + k) + f (- 2 t^{2} + 2 t - 5) > 0$ 恒成立，求实数k的取值范围.

查看试题解析
20. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， …， $[90 ， 100]$ 得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、求样本成绩的第75百分位数；

(3)、已知落在 $[50 ， 60)$ 的平均成绩是56，方差是7，落在 $[60 ， 70)$ 的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ .

查看试题解析
21. 设抛物线 $y = x^{2} - 3$ 与两坐标轴的交点分别记为M ， N ， G ，曲线C是经过这三点的圆.

(1)、求圆C的方程.

(2)、过 $P (- 1 ， 0)$ 作直线l与圆C相交于A ， B两点，
①用坐标法证明： $| P A | \cdot | P B |$ 是定值.
②设 $Q (0 ， - 2)$ ，求 ${| Q A |}^{2} + {| Q B |}^{2}$ 的最大值.

查看试题解析
22. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $∠ B A D = ∠ A C B = 90 °$ ， $A B = \sqrt{3} A C = 3 C D = 6$ ， $P A ⊥ B C$ ，在锐角三角形 $P A C$ 中， $P C = 4$ .

(1)、点E满足 $\vec{P E} = λ \vec{P D}$ ，试确定 $λ$ 的值，使得直线 $P B / /$ 平面 $A C E$ ，并说明理由.

(2)、当 $P A$ 的长为何值时，直线 $A D$ 与平面 $P B C$ 所成的角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ .

查看试题解析