浙江省杭州市四校2023-2024学年高一上册数学10月联考试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1. 设全集 $U = {2 ， 3 ， m^{2} + m - 4}$ ，集合 $A = {m ， 2} ， ∁_{U} A = {3}$ ，则 $m =$ （）

A、±2 B、2 C、-2 D、-4

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2. 命题“ $\forall x > 0 ， x^{2} - x \leq 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \leq 0 ， x^{2} - x \leq 1$ B、 $\forall x > 0 ， x^{2} - x > 1$ C、 $\exists x \leq 0 ， x^{2} - x \leq 1$ D、 $\exists x > 0 ， x^{2} - x > 1$

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3. 已知 $a ， b ， c$ ，满足 $c < b < a$ ，且 $a c < 0$ ，那么下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a b > a c$ B、 $c (b - a) < 0$ C、 $c b^{2} < a b^{2}$ D、 $a c (a - c) > 0$

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4. 若正数 $x ， y$ 满足 $x + 3 y = 5 x y$ ，则 $3 x + 4 y$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 命题 $p ： \exists x \in {x ∣ 1 \leq x \leq 9} ， x^{2} - a x + 36 \leq 0$ ，若 $p$ 是真命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a \geq 37$ B、 $a \geq 13$ C、 $a \geq 12$ D、 $a \leq 13$

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6. 函数 $y = [x]$ 在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如 $[1.5] = 1 ， [- 2.3] = - 3 ， [3] = 3$ .那么不等式 $4 [x]^{2} - 12 [x] + 5 \leq 0$ 成立的充分不必要条件是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， \frac{5}{2}]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[1 ， 3)$ D、 $[1 ， 3]$

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7. 设集合 $A = {m ， - 1 ， 2}$ ，其中 $m$ 为实数.令 $B = {a^{3} ∣ a \in A} ， C = A \cup B$ .若 $C$ 的所有元素和为9，则 $C$ 的所有元素之积为（）

A、0 B、2 C、4 D、0或4

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8. 正数a，b满足 $9 a + b = a b$ ，若不等式 $a + b \geq - x^{2} + 2 x + 18 - m$ 对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $[3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $(- \infty ， 6]$ D、 $[6 ， + \infty)$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若不等式 $a x^{2} - b x + c > 0$ 的解集是 $(- 1 ， 2)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a + b + c = 0$ B、 $a < 0$ C、 $b > 0$ 且 $c < 0$ D、不等式 $a x^{2} + c x + b > 0$ 的解集是 $R$

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10. 下列命题中为真命题的是（）

A、 ${0} \in {x ∣ x^{2} - 2 x = 0}$ B、“ $A \cup B = B$ ”的充要条件是 $A \cap B = A$ C、不等式 $x^{2} - 7 a x + 12 a^{2} < 0 (a \in R)$ 的解集为 ${x ∣ 3 a < x < 4 a}$ D、若 $x > 1 ， y > 1$ ，且满足 $x + y = x y$ ，则 $\frac{2 x}{x - 1} + \frac{4 y}{y - 1}$ 的最小值为 $6 + 4 \sqrt{2}$

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11. 已知函数 $y = x^{2} + a x + b (a > 0)$ 有且只有一个零点，则（）

A、 $a^{2} - b^{2} \leq 4$ B、 $a^{2} + \frac{1}{b} \geq 4$ C、若不等式 $x^{2} + a x - b < 0$ 的解集为 ${x ∣ x_{1} < x < x_{2}} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$ D、若不等式 $x^{2} + a x + b < c$ 的解集为 ${x ∣ x_{1} < x < x_{2}} (x_{1} < x_{2})$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | = 4$ ，则 $c = 4$

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12. 设非空集合 $S = {x ∣ m \leq x \leq n}$ 满足：当 $x \in S$ 时，有 $x^{2} \in S$ .给出如下命题，其中真命题是（）

A、若 $m = 1$ ，则 $S = {x ∣ x \geq 1}$ B、若 $m = - \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{1}{4} \leq n \leq 1$ C、若 $n = \frac{1}{2}$ ，则 $- \frac{\sqrt{2}}{2} ⩽ m ⩽ 0$ D、若 $n = 1$ ，则 $- 1 \leq m \leq 0$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第 $n$ 层楼时，上下楼造成的不满意度为 $n$ .但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第 $n$ 层楼时，环境不满意程度为 $\frac{9}{n}$ .则此人应选第楼，会有一个最佳满意度.

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14. 对于集合 $A ， B$ ，用 $c a r d (A)$ 表示有限集合 $A$ 中元素的个数，已知 $c a r d (A) = M ， c a r d (B) = N (M < N)$ ，集合 $C$ 满足 $A \subseteq C \subseteq B$ ，则符合条件的集合 $C$ 的个数是.

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15. 已知集合 $A = {x ∣ \frac{x - 1}{x + 1} < 0} ， B = {x ∣ (x - b)^{2} < a}$ ，若“ $a = 1$ ”是“ $A \cap B \neq \emptyset$ ”的充分条件，则实数 $b$ 的取值范围是.

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16. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a + 2 b - 3 a b}$ 的最大值是．

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四、解答题

17. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ 1 \leq x \leq 5}$ ，集合 $B = {x ∣ - 1 - 2 a \leq x \leq a - 2}$ .

(1)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知命题 $p ： \forall x \in [- 1 ， 1] ， x^{2} + 2 x - k \leq 0$ ，命题 $q ： \exists x \in R ， x^{2} + 2 k x + 3 k + 4 = 0$ .

(1)、当命题 $\neg p$ 为假命题时，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p$ 和 $q$ 中有且仅有一个是假命题，求实数 $k$ 的取值范围.

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19. 记不等式 $a x + b > 0$ 的解集为 $A$ ，不等式 $(a x - b) (x - a) \geq 0$ 的解集为 $B$

(1)、设 $a \in R ， b = - 2 a$ ，求 $A$ ；

(2)、若 $A = (- ∞ ， 1)$ ，求 $B$

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20. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司用一条长度为 $1 m$ 的铁丝，首尾相连做成一个直角三角形的海报纸，求：

(1)、海报纸的斜边最短是多少？

(2)、若在该海报纸画一个内切圆，则直角三角形内切圆半径 $r$ 最大值是多少？

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21. 设函数 $y = a x^{2} + x - b (a \in R ， b \in R)$ .

(1)、若 $b = 1$ ，且集合 ${x ∣ y = 0}$ 中有且只有一个元素，求实数 $a$ 的取值集合；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $y < (a - 1) x^{2} + (b + 2) x - 2 b$ ；

(3)、当 $a > 0 ， b > 1$ 时，记不等式 $y > 0$ 的解集为 $P$ ，集合 $Q = {x ∣ - 2 - t < x < - 2 + t}$ .若对于任意正数 $t ， P \cap Q \neq \emptyset$ ，求 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ 的最大值.

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22. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2 (a ， b$ 为实数）

(1)、若 $x = 1$ 时， $y = 1$ 且对 $\forall x \in (2 ， 5) ， y > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $x = 1$ 时， $y = 1$ 且对 $\forall a \in [- 2 ， - 1] ， y > 0$ 恒成立，求实数 $x$ 的取值范围；

(3)、对 $\forall x \in R ， b > 0$ 时， $y \geq 0$ 恒成立，求 $\frac{a + 2}{b}$ 的最小值.

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