安徽省合肥市重点中学2023-2024学年高三上册数学第一次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{\sqrt{x + 3}} + l o g_{2} (2 - x)$ ，则 $f (x)$ 的定义域为（）

A、 $(- 3 ， 2)$ B、 $[- 3 ， 2)$ C、 $(- 3 ， 2]$ D、 $[- 3 ， 2]$

查看试题解析
2. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{3} = 10$ ， $a_{4} + a_{6} = 80$ ，则数列 ${a_{n}}$ 前8项的和为（）

A、254 B、256 C、510 D、512

查看试题解析
3. 将 $y = s i n (x - \frac{π}{4})$ 图象上每一个点的横坐标变为原来的 $3$ 倍（纵坐标不变），得到 $y = g (x)$ 的图象，再将 $y = g (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $y = φ (x)$ 的图象﹐则 $y = φ (x)$ 的解析式为（）

A、 $y = s i n (3 x - \frac{π}{12})$ B、 $y = s i n (3 x + \frac{π}{4})$ C、 $y = s i n (\frac{1}{3} x - \frac{π}{12})$ D、 $y = s i n (\frac{1}{3} x - \frac{7 π}{36})$

查看试题解析
4. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{2 x^{2} - a x}$ 在区间 $(2 ， + ∞)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- ∞ ， 8]$ B、 $(- ∞ ， 8)$ C、 $[8 ， + \infty)$ D、 $(8 ， + \infty)$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = x (x - 3) (x - 3^{2}) (x - 3^{3}) (x - 3^{4}) (x - 3^{5})$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、 $3^{15}$ B、 $3^{14}$ C、 $- 3^{14}$ D、 $- 3^{15}$

查看试题解析
6. 函数 $f (x) = x^{3} + s i n 3 x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列 ${a_{n}}$ ：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，这样的数列称为“斐波那契数列”.若 $a_{m} = 2 (a_{3} + a_{6} + a_{9} + ⋯ + a_{174}) + 1$ ，则 $m =$ （）

A、175 B、176 C、177 D、178

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ ，其中 $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ，且 $f (x) \leq f (\frac{π}{3})$ 恒成立，若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上恰有 $3$ 个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{9}{2} ， \frac{15}{2})$ B、 $(\frac{9}{2} ， \frac{15}{2}]$ C、 $(\frac{9}{2} ， 9)$ D、 $(\frac{9}{2} ， 9]$

查看试题解析

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列代数式的值为 $\frac{1}{4}$ 的是（）

A、 $c o s^{2} 7 5^{∘} - s i n^{2} 7 5^{∘}$ B、 $\frac{t a n 1 5^{∘}}{1 + t a n^{2} 1 5^{∘}}$ C、 $c o s 3 6^{∘} c o s 7 2^{∘}$ D、 $2 c o s 2 0^{∘} c o s 4 0^{∘} c o s 8 0^{∘}$

查看试题解析
10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，当且仅当 $n = 12$ 时 $S_{n}$ 取得最大值，则满足 $S_{k} > 0$ 的最大的正整数k可能为（）

A、22 B、23 C、24 D、25

查看试题解析
11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = - f (x + \frac{3}{2})$ ，且 $f (x - \frac{3}{4})$ 为奇函数，当 $x \in [- \frac{3}{4} ， 0]$ 时， $f (x) = \frac{8}{3} x^{2} + a x - 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期为 $3$ 的周期函数 B、 $f (1) = 1$ C、当 $x \in [\frac{3}{2} ， \frac{9}{4}]$ 时， $f (x) = - \frac{8}{3} x^{2} + \frac{22}{3} x - 2$ D、 $\sum_{i = 1}^{2024} f (i) = 2$

查看试题解析
12. 三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（）

A、 $t a n \frac{1}{2} > \frac{1}{2}$ B、 $c o s \frac{1}{2} > \frac{7}{8}$ C、 $s i n 1 > 2 s i n \frac{1}{2}$ D、 ${(s i n \frac{1}{2})}^{s i n \frac{1}{2}} > \frac{2}{3}$

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. $l o g_{2} 3 \cdot l o g_{3} 4 + l o g_{4} 8 + 5^{l o g_{5} 2} =$ .

查看试题解析
14. 已知 $s i n α = \frac{2 m - 3}{m + 2}$ ， $c o s α = - \frac{m + 1}{m + 2}$ ，且 $α$ 为第二象限角，则 $\frac{s i n (α + 2024 π) + c o s (α + 2023 π)}{c o s (α + \frac{2021 π}{2})} =$ .

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) > f^{'} (x)$ ，若 $f (0) = 0$ ，则不等式 $f (2 x^{2} - 5 x - 7) > 0$ 的解集为.

查看试题解析
16. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = (a_{n} + 3) (a_{n} - 1)$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {(- 1)}^{n + 1}$ $\frac{n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，若 $b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n} < λ - \frac{5}{3} λ^{2}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则 $λ$ 的取值范围是.

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s x - \sqrt{3} c o s^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上的值域.

查看试题解析
18. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = 7$ ， $a_{3} + 2 a_{8} = 35$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 b_{n} - 2 S_{n} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = a \cdot 3^{x} + \frac{1}{3^{x - 1}}$ 是定义域为 $R$ 的偶函数.

(1)、求a的值；

(2)、若 $g (x) = 9^{x} + 9^{- x} + m f (x) + m^{2} - 1$ ，求函数 $g (x)$ 的最小值.

查看试题解析
20. 在数 $1$ 和 $3$ 之间插入 $n$ 个实数，使得这 $n + 2$ 个数构成递增的等比数列，将这 $n + 2$ 个数的乘积记作 $T_{n}$ ，令 $a_{n} = l o g_{3} T_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{(n + 1) \cdot 2^{n - 1}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + l n x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x) < e^{x} + x^{2} - 2$ .

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} - x) - e^{- x} - x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = e$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $0 < a < 1$ 时， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别为函数 $f (x)$ 的极大值点和极小值点，且 $f (x_{1}) + t f (x_{2}) > 0$ ，求t的取值范围．

查看试题解析