安徽省合肥市重点中学2023-2024学年高一上册数学10月月考试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in Z ∣ - 2 < x \leq 1} ， B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. “ $\sqrt{x - 1} < 1$ ”是“ $x < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知集合 $A = {x \in Z | \frac{x - 3}{x + 1} \leq 0}$ ， $B = {y | y = x^{2} ， x \in A}$ ，则集合 $A \cup B$ 的非空真子集的个数为（）

A、14 B、15 C、30 D、62

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4. 若关于x的不等式 $a x^{2} + b x - 1 > 0$ 的解集是 ${x | 1 < x < 2}$ ，则不等式 $b x^{2} + a x - 1 < 0$ 的解集是（）

A、 ${x | - 1 < x < \frac{2}{3}}$ B、 ${x | x ⟨ - 1 或 x ⟩ \frac{3}{2}}$ C、 ${x | - \frac{2}{3} < x < 1}$ D、 ${x | x ⟨ \frac{2}{3} 或 x ⟩ 1}$

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5. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 1}$ ， $B = {x | a - 1 \leq x \leq 2 a - 1}$ ，若 $B ⊆ A$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 1$ B、 $a < 1$ C、 $0 \leq a \leq 1$ D、 $0 < a < 1$

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6. 若集合 ${x ∣ a x^{2} + a x + 1 = 0}$ 的子集只有一个，则实数 $a$ 的取值情况是（）

A、 $a = 0$ 或 $a = 4$ B、 $a = 4$ C、 $0 \leq a < 4$ D、 $0 < a < 4$

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7. 命题“ $\forall x \in R$ ， $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $- 3 ＜ k ＜ 0$ B、 $- 3 ＜ k \leq 0$ C、 $- 3 ＜ k ＜ 1$ D、 $k ＞ - 3$

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8. 若关于x的不等式 $2 a x^{2} - 4 x < a x - 2$ 只有一个整数解，则实数a的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{2} < a \leq 1$ B、 $1 < a < 2$ C、 $1 \leq a < 2$ D、 $- 1 < a < 1$

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二、多选题

9. 下列四个命题：其中不正确的命题为（）

A、 ${0}$ 是空集 B、若 $a \in N$ ，则 $- a \notin N$ ； C、集合 ${x \in R | x^{2} - 2 x + 1 = 0}$ 中只有一个元素 D、集合 ${\begin{array}{l} x \in Q | \frac{6}{x} \in N \end{array}}$ 是有限集.

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10. 对于实数 $a ， b ， c$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > 0 > b$ ，则 $a b < a^{2}$ D、若 $c > a > b$ ， $\frac{a}{c - a} < \frac{b}{c - b}$

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11. 已知正数a ， b满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、ab的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为4 C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ D、 $a - \frac{1}{b}$ 的最大值为 $- 1$

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12. 对任意 $A ， B \subseteq R$ ，定义 $A \oplus B = {x | x \in A \cup B ， x \notin A \cap B}$ .例如，若 $A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A \oplus B = {1 ， 4}$ ，下列命题中为真命题的是（）

A、若 $A ， B \subseteq R$ 且 $A \oplus B = B$ ，则 $A = \emptyset$ B、若 $A ， B \subseteq R$ 且 $A \oplus B = \emptyset$ ，则 $A = B$ C、若 $A ， B \subseteq R$ 且 $A \oplus B \subseteq A$ ，则 $A ⊆ B$ D、若 $A ， B \subseteq R$ ，则 $(C_{R}^{} A) \oplus B = C_{R}^{} (A \oplus B)$

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三、填空题

13. 命题“ $\forall x < 3$ ， $x^{2} + 2 x > 3$ ”的否定是．

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14. 已知集合 ${a ， \frac{b}{a} ， 4} = {a^{2} ， a + 3 b ， 0}$ ，则 $2 | a | + b =$ ．

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15. 若实数x ， y满足 $1 \leq x \leq 4$ ， $- 1 \leq y \leq 2$ ，则 $2 x - y$ 的取值范围为．

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16. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{a} + \frac{2}{x}$ ，若 $f (x) + 2 x \geq 0$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {{x | a - 1 ＜ x ＜ a + 1 |}}$ ， $B = {x | 0 < x \leq 3}$ ， $U = R$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $A \cup B$ ； $A \cap (C_{U}^{} B)$ .

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18.

(1)、当 $x ＜ 0$ 时，求 $y = x + \frac{6}{x}$ 的最大值；

(2)、设 $x \geq 0$ ，求函数 $y = \frac{(x + 2) (x + 3)}{x + 1}$ 的最小值.

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19. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 \leq x < 5}$ ，非空集合 $B = {x | 2 \leq x \leq 1 + 2 a}$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的必要条件，求 $a$ 的取值范围；

(2)、“ $\exists x \in A$ ， $x^{2} - 2 x + m = 0$ ”为真命题，求 $m$ 的取值范围．

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20. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.

(1)、据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)、为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 $x$ 元.公司拟投入 $\frac{1}{6}$ ( $x^{2}$ -600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 $\frac{x}{5}$ 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 $a$ 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.

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21. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | x < 1 ，或 x > b}$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、当 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + k + 2$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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22. 已知 $y = (a + 1) x^{2} - x + 1$ ．

(1)、若对 $\forall x > 0 ， y \leq x^{3} + 1$ ，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a > 0$ 时，求关于x的不等式 $y \leq x^{2} + a x$ 的解集．

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