广东省广东实验名校2022-2023学年高一上册数学期中试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{1，3} C、{2，4，5} D、{1，2，3，4，5}

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2. 函数 $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{0}}{\sqrt{3 - x}}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty ， 3]$ B、 $(- \infty ， 3)$ C、 $(- \infty ， 1) \cup (1 ， 3]$ D、 $(- \infty ， 1) \cup (1 ， 3)$

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3. 不等式 $\frac{3 x - 1}{2 - x} \geq 1$ 的解集是（）

A、 ${x | \frac{3}{4} \leq x \leq 2}$ B、 ${x | \frac{3}{4} \leq x < 2}$ C、 ${x | x > 2$ 或 $x \leq \frac{3}{4}}$ D、 ${x | x \geq \frac{3}{4}}$

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4. 已知 $a > b > 0$ ，则“ $m > 0$ ”是“ $a^{m} > b^{m}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数f(x)＝ $\frac{x}{1 - x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知a＞0，且a²－b＋4＝0，则 $\frac{2 a + 3 b}{a + b}$ （）

A、有最大值 $\frac{17}{6}$ B、有最大值 $\frac{14}{5}$ C、有最小值 $\frac{17}{6}$ D、有最小值 $\frac{14}{5}$

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7. 对于 $\forall x \in [- 2 ， 2]$ ，不等式 $m - x \geq \sqrt{2 - x}$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 0$ B、 $m \geq \sqrt{2}$ C、 $m \geq 2$ D、 $m \geq \frac{9}{4}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x + 2} ， x \leq 0 且 x \neq - 2 \\ f (x - 1) + 1 ， x > 0 \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k x$ 都有4个不同的根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， \frac{5}{2})$ B、 $(2 ， \frac{5}{2}]$ C、 $[\frac{7}{4} ， \frac{5}{2})$ D、 $(\frac{7}{4} ， \frac{5}{2}]$

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二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，未选或有选错的得0分．

9. 已知函数 $y_{1} = x$ ， $y_{2} = x^{2}$ ， $y_{3} = x^{3}$ ，下列关于这三个函数的描述中，当 $x$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上逐渐增大时，下列说法正确的是（）

A、 $y_{1}$ 的增长速度越来越快 B、 $y_{2}$ 的增长速度越来越快 C、 $y_{3}$ 的增长速度一直快于 $y_{1}$ D、 $y_{3}$ 的增长速度有时慢于 $y_{2}$

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10. 有以下判断，其中是正确判断的有（）

A、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} 1 ， & x \geq 0 \\ - 1 ， & x < 0 \end{array}$ 表示同一函数 B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有1个 C、若 $f (x) = | x - 1 | - | x |$ ，则 $f (f (\frac{1}{2})) = 1$ D、函数 $f (x) = 2 x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(1 ， 0)$ 对称，则下列结论成立的是（）

A、 $f (x + 1)$ 为偶函数 B、 $f (1 + x) = f (1 - x)$ C、 $f (2 + x) + f (- x) = 0$ D、 $f (1) = 0$

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12. 已知 $b > 0$ ，若对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $a x^{3} + 3 x^{2} - a b x - 3 b \leq 0$ 恒成立，则（）

A、 $a < 0$ B、 $a^{2} b = 3$ C、 $a^{2} + 4 b$ 的最小值为12 D、 $a^{2} + a b + 3 a + b$ 的最小值为 $6 - 6 \sqrt{3}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}$ 的值域是．

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14. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3) x^{m}$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，则实数 $m$ 的值为.

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15. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (1) = 3$ ，对任意两个不等的实数 $a$ ， $b$ 都有 $\frac{f (a) - f (b)}{a - b} > 1$ ，则不等式 $f (x^{2} - x - 1) < x^{2} - x + 1$ 的解集为．

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16. 若函数 $f (x) = (a^{2} - x^{2}) (x^{2} + b x + c) (c > 0)$ 的图象关于直线 $x = - 2$ 对称，则 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ 的最小值是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.

(1)、化简 ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 9.6)}^{0} - {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}}$ ；

(2)、若 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ ，求 $x^{2} + x^{- 2}$ 的值．

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18. 已知 $f (x) = \sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 2}}$ 的定义域为集合 $A$ ，集合 $B = {x | - a < x < 3 a - 6}$ ．

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - m x + m - 1 (m \in R)$ ．

(1)、若 $F (x) = x f (x)$ 是奇函数，求 $m$ 的值；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最小值记为 $g (m)$ ，求 $g (m)$ 的最大值．

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20. 今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x + 1000 ， 0 < x < 40 \\ 701 x + \frac{10000}{x} - 8450 ， x \geq 40 \end{array}$ ，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)、求2023年的利润 $W (x)$ （万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；

(2)、 2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

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21. 函数 $f (x)$ 对任意实数 $x ， y$ 恒有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、求证∶ $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数∶

(3)、若 $a \in R$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (a x^{2}) + f (x + 2) < f (x^{2}) - f (a x)$ 的解集.

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22. 函数 $f (x) = | a x - 2 a | + x | x - a | - 2$ ，方程 $f (x) = 0$ 有三个互不相等的实数根，从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{3}}$ 的值；

(2)、若对于任意的正实数 $a$ ， $x_{2} x_{3} - λ x_{1} < 0$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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