广东省深圳市人大深圳附中2023-2024学年高三上册数学10月月考试卷

试卷更新日期：2023-10-27 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x ≤ 2}$ ， $B = {x | x > 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | x > 0}$ B、 ${x | x > - 1}$ C、 ${x | 0 < x ≤ 2}$ D、 ${x | x ≤ 2}$

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2. 已知 $a \in R$ ，若复数 $z = (a^{2} - 1) + (a + 1) i$ 为纯虚数，则复数 $\frac{2 + i}{a - i}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若向量 $\vec{a} = (m ， - 3)$ ， $\vec{b} = (3 ， 1)$ ，则“ $m < 1$ ”是“向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为钝角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d ，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{7} + a_{9} = 27$ ，且 $S_{8} = S_{9}$ ，则 $d =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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5. 已知某种垃圾的分解率为v ，与时间t（月）满足函数关系式 $v = a b^{t}$ （其中a ， b为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3$ ）

A、48个月 B、52个月 C、64个月 D、120个月

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6. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < 0$ .在已知 $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（）

A、 $ω$ B、 $φ$ C、 $\frac{φ}{ω}$ D、 $A s i n φ$

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7. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{c} | = \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $c o s < \vec{a} - \vec{c} ， \vec{b} - \vec{c} > =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 已知函数 $f (x) = e^{m x} - \frac{1}{m} l n x$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立，则m的取值范围（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(e ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{e} ， e)$ D、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。

9. 以下说法正确的有（）

A、 $t a n 600 ° = \sqrt{3}$ B、 $s i n (- 225 °) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $c o s 135 ° = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $t a n 75 ° = 2 + \sqrt{3}$

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10. 设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 是复数，则下列说法中正确的是（）

A、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ B、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ 且 $z_{1} \neq 0$ ，则 $z_{2} = z_{3}$ C、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = z_{2} \cdot \bar{z_{2}}$ D、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = a s i n ω x + c o s ω x$ （ $a > 0$ ， $ω > 0$ ）的部分图像如图所示，其中 $| B C | = 2$ ，且的面积为2，则下列函数数值恰好等于a的是（）

A、 $f (\frac{1}{3})$ B、 $f (\frac{5}{6})$ C、 $f (1)$ D、 $f (2)$

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12. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x - 1)$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in (- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = - x^{2} + 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{7}{3}) = - \frac{8}{9}$ B、 $f (x)$ 在 $(6 ， 8)$ 上为减函数 C、点 $(3 ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心 D、方程 $f (x) + l g x = 0$ 仅有 $6$ 个实数解

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角是 $\frac{2 π}{3}$ ，向量 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{e_{2}}$ ，则实数 $λ =$ .

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14. 在三角形ABC中， $a = 3$ ， $b = 2 \sqrt{6}$ ， $∠ B = 2 ∠ A$ ，则 $c =$ .

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15. 若函数 $f (x) = 2 s i n 2 x$ 的图像向右平移 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图像，若对满足 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 4$ 的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，有 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{6}$ ，则 $θ =$ .

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16. 将正奇数按如下所示的规律排列：
3    5    7
9    11    13    15    17
19    21    23    25    27    29    31
…
则数字2023的位置为第行，从左向右第个数。

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知递增等差数列 ${a_{n}}$ 等比数列 ${b_{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ ， $a_{1} = c_{1} = 1$ ， $c_{4} = 9$ ， $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{5}$ 成等比数列， $b_{n} = a_{n} + c_{n}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} a x + b$ .

(1)、若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处相切，求 $g (x)$ ；

(2)、若 $φ (x) = \frac{m (x - 1)}{x + 1} - f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上是减函数，求实数m的取值范围.

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19. 已知 $a > 0$ ，设函数 $f (x) = s i n | x + a | (x \in R)$ .

(1)、若 $a = \frac{π}{2}$ ，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、试讨论函数 $f (x)$ 在 $[- a ， 2 a]$ 上的值域.

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20. 在锐角三角形ABC中， $c o s A + s i n B = \sqrt{3} (s i n A + c o s B)$ .

(1)、若 $C = \frac{π}{3}$ ，求角A.

(2)、已知点D在边AC上，且 $A D = B D = 2$ ，求CD的取值范围.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ， $n \in N^{*}$ .数列 ${b_{n}}$ 满足 $n b_{n + 1} - (n + 1) b_{n} = n (n + 1)$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $b_{1} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在正整数m ， n使 $b_{1}$ ， $a_{m}$ ， $b_{n} (n > 1)$ 成等差数列，若存在，求出所有满足条件的m ， n；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - c o s x$ ， $g (x) = f (x) - x$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递增，求a的最大值；

(2)、当a取（1）中所求的最大值时，讨论 $g (x)$ 在R上的零点个数，并证明 $g (x) > - \sqrt{2}$ ．

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