北师大版数学七年级（上）复习微专题精炼12 探索与表达规律

试卷更新日期：2023-10-26 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 观察下列算式： $2^{1} = 2$ ； $2^{2} = 4$ ； $2^{3} = 8$ ； $2^{4} = 16$ ； $2^{5} = 32$ ；……，则 $2^{2003} + 3$ 的末尾数字是（）

A、1 B、5 C、7 D、9

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2. 找出以如图形变化的规律，则第2021个图形中黑色正方形的数量是（　　）

A、3030 B、3032 C、2020 D、2021

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3. $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + 2021 - 2022 =$ （）

A、－1011 B、1011 C、－1012 D、1012

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4. 观察下列算式：2¹＝2，2²＝4，2³＝8，2⁴＝16，2⁵＝32，2⁶＝64，2⁷＝128，2⁸＝256，…用你所发现的规律得出2²⁰²²的末位数字是（）.

A、2 B、4 C、6 D、8

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5. 用形状相同的两种菱形拼成如图所示的图案，用an表示第n个菱形的个数，则an（用含n的式子表示）为（）

A、5n-1 B、8n-4 C、6n-2 D、4n+4

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6. 一杯饮料，第1次倒去 $\frac{1}{3}$ ，第2次倒去剩下的 $\frac{1}{3}$ ，如此倒下去，倒5次后剩下的饮料是原来的（）

A、 ${(\frac{1}{3})}^{4}$ B、 ${(\frac{1}{3})}^{5}$ C、 ${(\frac{2}{3})}^{4}$ D、 ${(\frac{2}{3})}^{5}$

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7. 将正偶数按下表排成5列：

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24

28
26

若2022在第m行第n列，则 $m + n =$ （）

A、256 B、257 C、510 D、511

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8. a是不为2的有理数，我们把 $\frac{2}{2 - a}$ 称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是 $\frac{2}{2 - 3}$ =-2，-2的“哈利数”是 $\frac{2}{2 - (- 2)} = \frac{1}{2}$ .已知a₁=3，a₂是a₁的“哈利数”，a₃是a₂的“哈利数”，a₄是a₃的“哈利数”，……依此类推，则a₂₀₂₃=（）

A、3 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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9. 下列哪一幅图的规律和其他图不一样？（）

A、 B、 C、 D、

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10. 将一列有理数 $- 1 ， 2 ， - 3 ， 4 ， - 5 ， 6$ ， ……，如图所示有序排列.根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（ $C$ 的位置）是有理数4，那么，“峰6”中 $C$ 的位置是有理数____，2022应排在 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 中____的位置.正确的选项是（）

A、-29， $A$ B、30， $D$ C、029， $B$ D、-31， $A$

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二、填空题

11. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性.若把第一个三角数记为 $a_{1}$ ，第二个三角数记为 $a_{2}$ ， …，第n个三角数记为 $a_{n}$ ，则 $a_{n - 1} + a_{n} =$ （ $n > 1$ ）.

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12. 有依次排列的3个数：2，6，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，4，6，1，7，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也产生一个新数串：2，2，4，2，6， $- 5$ ， 1，6，7，若相继依次操作，则从数串：2，6，7开始操作第100次时所产生的那个新数串的所有数之和是．

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13. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为 $\frac{1}{n}$ ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为；

$\frac{1}{1}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{12}$
$\frac{1}{12}$
$\frac{1}{4}$
……

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14. 观察下列一组数的规律，填上合适的数 $1 ， - 4 ， 9 ， - 16 ， 25 ， - 36$ ．

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15. 已知整数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， …满足下列条件： $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = - | a_{1} + 1 |$ ， $a_{3} = - | a_{2} + 2 |$ ， $a_{4} = - | a_{3} + 3 |$ ，以此类推，则 $a_{2022}$ 的值为.

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三、计算题

16. 计算：

(1)、1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2017+2018﹣2019﹣2020+2021；

(2)、（﹣1 $\frac{1}{2}$ ）+（﹣2021 $\frac{5}{6}$ ）﹣（﹣4040 $\frac{7}{12}$ ）+（﹣1013 $\frac{3}{4}$ ）+（﹣1005 $\frac{2}{3}$ ）．

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17. 观察下列算式：
$1 + \frac{1}{3} = \frac{3 + 1}{3} = \frac{2^{2}}{1 \times 3}$ ；①

$1 + \frac{1}{8} = \frac{8 + 1}{8} = \frac{3^{2}}{2 \times 4}$ ；②

$1 + \frac{1}{15} = \frac{15 + 1}{15} = \frac{4^{2}}{3 \times 5}$ ；③

………按照上面的规律完成下列各题：

(1)、第④个算式： $1 + \frac{1}{24} = \frac{24 + 1}{24} =$ ；

(2)、第⑤个算式为；

(3)、第 n 个算式为；

(4)、计算： $(1 + \frac{1}{3}) \times (1 + \frac{1}{8}) \times (1 + \frac{1}{15}) \times \dots \times (1 + \frac{1}{99})$ .

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四、解答题

18. 如表所示的数中，第 $n + 3$ 个数比第 $n$ 个数大2（其中 $n$ 是正整数）．
第1个数
第2个数
第3个数
第4个数
第5个数
…
$a$
$b$
$c$
$a + 2$
$b + 2$
…

(1)、第 $6$ 个数可表示为；第 $7$ 个数可表示为；

(2)、第 $22$ 个数是 $12$ ，第 $23$ 个数为 $61$ ，则 $a =$ ， $b =$ ；

(3)、第 $2025$ 个数可表示为．

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19. 如图①②③是将正方体截去一部分后得到的几何体．

(1)、根据要求填写表格：
图
面数（f）
顶点数（v）
棱数（e）
①
②
③

(2)、猜想f，v，e三个数量间有何关系；

(3)、根据猜想计算，若一个几何体有2021个顶点，4035条棱，试求出它的面数．

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20. 利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．请你尝试利用数形结合的思想方法解决下列问题

(1)、如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的 $\frac{1}{2} ， \frac{1}{4} ， \frac{1}{8} ⋯ \frac{1}{2^{n}}$ ，根据图示我们可以知道： $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ⋯ + \frac{1}{2^{n}}$ ＝．（用含有n的式子表示）

(2)、如图②，一个边长为1的正方形，第一次取正方形面积的 $\frac{2}{3}$ ，然后依次取剩余部分的 $\frac{2}{3}$ ，根据图示：计算： $\frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \frac{2}{27} + ⋯ + \frac{2}{3^{n}}$ ＝．（用含有n的式子表示）

(3)、如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算： $\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + ⋯ + \frac{2^{n - 1}}{3^{n}}$ ＝．（用含有n的式子表示）

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21. 我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究.结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质.

探索数的神秘性质
素材	尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作 $《$ 算术入门 $》$ 中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数 $m$ 的立方都可以写成 $m$ 个连续奇数之和.	举例论证： $1^{3} = 1$ ； $2^{3} = 3 + 5$ ； $3^{3} = 7 + 9 + 11$ ；请你按规律写出： $4^{3} =$ ▲ .
规律总结	当 $m$ 是奇数7时，则等号右边式子中的中间数 $($ 即第4个数 $)$ 为 ▲ ；	当 $m$ 为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数 $($ 即第5和第6个数 $)$ 为 ▲ .
综合应用	利用上面结论计算： $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + 9^{3} + 1 0^{3} + 1 1^{3}$ .
拓展延伸	我们还发现以下规律：已知 $m \geq 2$ ， $n \geq 3$ ，且 $m$ ， $n$ 均为正整数，如果将 $m^{n}$ 进行如图所示的“分解”：若 $m^{n} ($ 且 $m$ ， $n$ 均为不大于 $7$ 的正整数 $)$ 的分解中有奇数31，则 $m^{n}$ 的值为 ▲ .

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	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列
第1行		2	4	6	8
第2行	16	14	12	10
第3行		18	20	22	24
			28	26

			$\frac{1}{1}$
		$\frac{1}{2}$		$\frac{1}{2}$
	$\frac{1}{3}$		$\frac{1}{6}$		$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}$		$\frac{1}{12}$		$\frac{1}{12}$		$\frac{1}{4}$
……

第1个数	第2个数	第3个数	第4个数	第5个数	…
$a$	$b$	$c$	$a + 2$	$b + 2$	…

图	面数（f）	顶点数（v）	棱数（e）
①
②
③