吉林省长春市八十七中2023-2024学年八年级上学期9月月考数学试卷

试卷更新日期：2023-10-26 类型：月考试卷

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一、选择题（每题3分，共8小题，共24分）

1. 在实数 $\frac{22}{7}$ ， $0.3333 \dots$ ， $3.14$ ， $\sqrt{3}$ 中，无理数是（）

A、 $\frac{22}{7}$ B、 $0.3333 \dots$ C、 $3.14$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 下列各式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ D、 $2 \sqrt{8}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{25} = \pm 5$ B、 $\sqrt[3]{- 64} = 4$ C、 $\pm \sqrt{4} = 2$ D、 ${(\sqrt[3]{- 8})}^{2} = 4$

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4. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）.

A、甲乙 B、甲丙 C、乙丙 D、乙

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5. 如图，若记北京为 $A$ 地，莫斯科为 $B$ 地，雅典为 $C$ 地．若想建立一个货物中转仓，使其到 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）

A、三边垂直平分线的交点 B、三边中线的交点 C、三条角平分线的交点 D、三边上高的交点

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6. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是（）

A、SAS B、SSS C、ASA D、AAS

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7. 已知： $n < \sqrt{32} < m$ ，且 $m$ ， $n$ 是两个连续整数，则 $m n =$ （）

A、 $28$ B、 $29$ C、 $30$ D、 $31$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $∠ C = 90 ° .$ 下列尺规作图痕迹中，不能将 $△ A B C$ 的面积平分的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（每题3分，共6小题，共18分）

9. 若 $\sqrt{2 x - 3}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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10. $- 64$ 的立方根是.

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11. 若最简二次根式 $\sqrt{m + 1}$ 与 $\sqrt{12}$ 是同类二次根式，则 $m =$ ．

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12. 如图，边长为 $1$ 的 $5$ 个小正方形组成一个“ $T$ ”字形，按图示将它剪开并不重叠且无缝隙地重新拼接，那么所拼成的正方形的边长为．

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13. 要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是米．

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14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 $O A$ ， $O B$ 组成，两根棒在 $O$ 点相连并可绕 $O$ 转动， $C$ 点固定， $O C = C D = D E$ ，点 $D$ 、 $E$ 可在槽中滑动．若 $∠ B D E = 75 °$ ，则 $∠ C D E$ 的度数是．

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三、解答题（共10小题，共78分）

15. 计算：

(1)、 $\sqrt{18} \times \sqrt{30}$ ；

(2)、 $2 \sqrt{12} \times \frac{\sqrt{3}}{4} + 3 \sqrt{2}$ ；

(3)、 $4 \sqrt{5} - \sqrt{3} \times \sqrt{15} + \sqrt{18} + \sqrt{2}$ ．

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16. 解方程：

(1)、 $4 (x - 2)^{2} = 49$ ；

(2)、 $(x - 1)^{3} = 216$ ．

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17. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $| a + 6 | + \sqrt{b - 2} + (c - 3)^{2} = 0$ ，求 $\sqrt{- a b c}$ 的值．

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18. 已知：如图，点 $A$ ， $F$ ， $C$ ， $D$ 在同一直线上， $A F = D C$ ， $A B / / D E$ ， $A B = D E$ ，求证： $B C / / E F$ ．

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19. 观察下表后回答问题：

$a$	$0.0001$	$0.01$	$1$	$100$	$10000$
$v a$	$0.01$	$x$	$1$	$y$	$100$

(1)、表格中

x =

，

y =

；

(2)、根据你发现的规律填空：

$①$ 已知 $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，则 $\sqrt{300} \approx$ ， $\sqrt{0.0003} \approx$ ；

$②$ 已知 $\sqrt{0.003136} \approx 0.056$ ，则 $\sqrt{313600} \approx$ ．

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20. 图 $①$ 、图 $②$ 均为 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 $1$ ，点 $A$ 、 $C$ 均在格点上，连结 $A C$ ．

(1)、在图 $①$ 中以 $A C$ 为腰画一个等腰三角形 $A B C$ ，且点 $B$ 在格点上；

(2)、在图 $②$ 中以 $A C$ 为底边画一个等腰直角三角形 $A C D$ ，且点 $D$ 在格点上；

(3)、直接写出图 $②$ 中所画出的 $△ A C D$ 的面积为．

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21. 如图 $①$ ，这是由 $8$ 个同样大小的立方体组成的魔方，体积为 $8 .$

(1)、求出这个魔方的棱长．

(2)、图中阴影部分是一个正方形 $A B C D$ ，求阴影部分的面积及其边长．

(3)、把正方形 $A B C D$ 放到数轴上，如图 $②$ ，使得 $A$ 与 $- 1$ 重合，那么与点 $D$ 最接近的一个整数为．

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22. 综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图 $1$ ， $△ A B C$ 中， $A B = 7$ ， $A C = 5$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的取值范围 $.$ 小明的做法是：如图 $2$ ，延长 $A D$ 到 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连结 $B E$ ，构造 $△ B E D$ ≌ $△ C A D$ ，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：

(1)、请你写出证明 $△ B E D$ ≌ $△ C A D$ 的过程．

(2)、直接写出 $A D$ 的取值范围是 ▲ $.$ 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造 $.$ 参考小明思考问题的方法，解决问题．

(3)、如图 $3$ ，在正方形 $A B C D ($ 各角都为直角 $)$ 中， $E$ 为 $A B$ 边的中点， $G$ 、 $F$ 分别为 $B C$ 边上的点，若 $A G = 2$ ， $B F = 3$ ， $∠ G E F = 90 °$ ，直接写出 $G F$ 的长为．

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23. 教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第 $96$ 页的部分内容．

(1)、【定理证明】请根据教材中的分析，结合图 $①$ ，写出“角平分线性质定理”完整的证明过程．

(2)、【定理应用】
如图 $②$ ，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 、 $B E$ 分别是 $∠ B A C$ 、 $∠ A B C$ 的角平分线， $A D$ 、 $B E$ 的交点为 $O .$ 连结 $C O$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，则 $∠ A C F$ 与 $∠ B C F$ 的大小关系为．

A、 $∠ A C F > ∠ B C F$ B、 $∠ A C F < ∠ B C F$ C、 $∠ A C F = ∠ B C F$ D、无法确定

(3)、如图 $③$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B$ 的角平分线与 $∠ A B C$ 的角平分线交于点 $E$ ，且点 $E$ 在 $C D$ 的垂直平分线 $l$ 上，连结 $C E$ 、 $D E$ ，求证： $∠ A D C = ∠ B C D$ ．

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24. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 18$ ， $B C = 15$ ，点 $D$ 为边 $C B$ 的中点，动点 $P$ 以 $2$ 个单位的速度从点 $B$ 出发在射线 $B A$ 上运动，点 $Q$ 在边 $A C$ 上，设点 $P$ 运动时间为 $t$ 秒， $(t > 0)$

(1)、用含 $t$ 的代数式表示线段 $A P$ 的长．

(2)、当 $A C = B C$ ，点 $P$ 在线段 $B A$ 上．
$①$ 若 $△ B P D$ 和 $△ A Q P$ 全等，求 $t$ 的值；
$②$ 连结 $C P$ ，已知 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的高为 $14.4$ ，设 $△ A C P$ 的面积为 $S$ ，当 $S = 12$ 时，求 $t$ 的值．

(3)、当 $∠ C A B = 70 °$ ， $△ A Q P$ 为等腰三角形时，请直接写出 $∠ A P Q$ 的度数．

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