北京市海淀区2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月）

试卷更新日期：2023-10-26 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个图形中，为中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $2 x^{2} + x - 5 = 0$ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A、 $2$ ， $1$ ， $5$ B、 $2$ ， $1$ ， $- 5$ C、 $2$ ， $0$ ， $- 5$ D、 $2$ ， $0$ ， $5$

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3. 把抛物线 $y = x^{2}$ 向上平移 $3$ 个单位，得到的抛物线是（）

A、 $y = (x - 3)^{2}$ B、 $y = (x + 3)^{2}$ C、 $y = x^{2} - 3$ D、 $y = x^{2} + 3$

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (2 ， 3)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(3 ， 2)$ D、 $(- 2 ， - 3)$

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5. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点 $(0 ， 0)$ 的是（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = (x - 4)^{2}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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6. 用配方法解方程 $x^{2} + 4 x = 1$ ，变形后结果正确的是（）

A、 $(x - 2)^{2} = 2$ B、 $(x + 2)^{2} = 2$ C、 $(x - 2)^{2} = 5$ D、 $(x + 2)^{2} = 5$

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7. 把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（）

A、 $x^{2} = 2 (2 - x)$ B、 $x^{2} = 2 (2 + x)$ C、 $(2 - x)^{2} = 2 x$ D、 $x^{2} = 2 - x$

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8. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过点 $A$ ， $B$ ， $C .$ 现有下面四个推断：
      $①$ 抛物线开口向下；
      $②$ 当 $x = - 2$ 时， $y$ 取最大值；
      $③$ 当 $m < 4$ 时，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = m$ 必有两个不相等的实数根；
$④$ 直线 $y = k x + c (k \neq 0)$ 经过点 $A$ ， $C$ ，当 $k x + c > a x^{2} + b x + c$ 时， $x$ 的取值范围是 $- 4 < x < 0$ ；
其中推断正确的是（）

A、 $① ②$ B、 $① ③$ C、 $① ③ ④$ D、 $② ③ ④$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 抛物线 $y = - 3 (x - 1)^{2} + 2$ 的顶点坐标是．

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10. 请写出一个开口向上，并且与 $y$ 轴交于点 $(0 ， - 2)$ 的抛物线解析式．

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11. 若点 $A (- 1 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ 在抛物线． $y = 2 x^{2}$ 上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系为： $y_{1}$ $y_{2} . ($ 选填“ $>$ ”“ $<$ 或“ $=$ ” $)$

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12. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围为．

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13. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 2 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 1) .$ 将线段 $B A$ 绕点 $B$ 旋转 $180 °$ 得到线段 $B C$ ，则点 $C$ 的坐标为．

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14. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $30 °$ 得到 $△ A D E$ ，点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在边 $B C$ 上，则 $∠ A D E =$ ．

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15. 如图，在边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是边 $D C$ ， $C B$ 上的动点，且始终满足 $D E = C F$ ， $A E$ ， $D F$ 交于点 $P$ ，则 $∠ A P D$ 的度数为；连接 $C P$ ，线段 $C P$ 的最小值为．

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16. 野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分

.

建立如图所示的平面直角坐标系，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离

x (

单位：

m)

与竖直高度

y (

单位：

m)

进行的测量，得到以下数据：

水平距离 $x / m$	$0$	$0.4$	$1$	$1.4$	$2$	$2.4$	$2.8$
竖直高度 $y / m$	$0$	$0.48$	$0.9$	$0.98$	$0.8$	$0.48$	$0$

根据上述数据，回答下列问题：

$①$ 野兔本次跳跃的最远水平距离为 $m$ ，最大竖直高度为 $m$ ；

$②$ 已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃最远水平距离为 $3 m$ ，最大竖直高度为 $1 m .$ 若在野兔起跳点前方 $2 m$ 处有高为 $0.8 m$ 的篱笆，则野兔此次跳跃 $($ 填“能”或“不能” $)$ 跃过篱笆．

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三、解答题（本大题共10小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ．

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18. 已知a是方程 $2 x^{2} - 7 x - 1 = 0$ 的一个根，求代数式 $a (2 a - 7) + 5$ 的值．

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19. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = a (x - 3)^{2} - 1$ 经过点 $(2 ， 1)$ ．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．

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20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．

(1)、依题意补全图形；

(2)、若BC=1，求线段BD的长．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的部分图象经过点 $A (0 ， - 3)$ ， $B (1 ， 0)$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、结合函数图象，直接写出 $y < 0$ 时， $x$ 的取值范围．

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22. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + (2 - m) x + 1 - m = 0$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若 $m < 0$ ，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值．

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23. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙 $($ 墙长为 $25 m)$ 的空地上修建一个矩形小花园 $A B C D .$ 小花园一边靠墙，另三边用总长 $40 m$ 的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园 $A B$ 边的长为 $x m$ ，面积为 $y m^{2}$ ．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式并求出自变量取值范围；

(2)、当 $x$ 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(4 ， 3)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a > 0)$ 上．

(1)、求该抛物线的对称轴；

(2)、已知 $m > 0$ ，当 $2 - m \leq x \leq 2 + 2 m$ 时， $y$ 的取值范围是 $- 1 \leq y \leq 3 .$ 求 $a$ ， $m$ 的值；

(3)、在 $(2)$ 的条件下，是否存在实数 $n$ ，使得当 $n - 2 < x < n$ 时， $y$ 的取值范围是 $3 n - 3 < y < 3 n + 5 .$ 若存在，直接写出 $n$ 的值；若不存在，请说明理由．

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25.
如图，在等边三角形 $A B C$ 中，点 $P$ 为 $△ A B C$ 内一点，连接 $A P$ ， $B P$ ， $C P$ ，将线段 $A P$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $A P'$ ，连接 $P P'$ ， $B P'$ ．

(1)、用等式表示 $B P'$ 与 $C P$ 的数量关系，并证明；

(2)、当 $∠ B P C = 120 °$ 时，
$①$ 直接写出 $∠ P' B P$ 的度数为 ▲ ；
$②$ 若 $M$ 为 $B C$ 的中点，连接 $P M$ ，用等式表示 $P M$ 与 $A P$ 的数量关系，并证明．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于第一象限的 $P$ ， $Q$ 两点，给出如下定义：若 $y$ 轴正半轴上存在点 $P'$ ， $x$ 轴正半轴上存在点 $Q'$ ，使 $P P' / / Q Q'$ ，且 $∠ 1 = ∠ 2 = α ($ 如图 $1)$ ，则称点 $P$ 与点 $Q$ 为 $α -$ 关联点．

(1)、在点 $Q_{1} (3 ， 1)$ ， $Q_{2} (5 ， 2)$ 中，与 $(1 ， 3)$ 为 $45 ° -$ 关联点的是；

(2)、如图 $2$ ， $M (6 ， 4)$ ， $N (8 ， 4)$ ， $P (m ， 8) (m > 1) .$ 若线段 $M N$ 上存在点 $Q$ ，使点 $P$ 与点 $Q$ 为 $45 ° -$ 关联点，结合图象，求 $m$ 的取值范围；

(3)、已知点 $A (1 ， 8)$ ， $B (n ， 6) (n > 1) .$ 若线段 $A B$ 上至少存在一对 $30 ° -$ 关联点，直接写出 $n$ 的取值范围．

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