四川省巴中市2023-2024学年九年级上学期数学月考考试试卷（9月）

试卷更新日期：2023-10-26 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共12小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x - 1 = 1$ B、 $\frac{1}{x - 1} + 3 = 5$ C、 $x (x + 3) = x^{2}$ D、 $x (x + 3) = 1$

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2. 一元二次方程 $3 x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A、 $3$ ， $- 4$ ， $- 5$ B、 $3$ ， $- 4$ ， $5$ C、 $3$ ， $4$ ， $5$ D、 $3$ ， $4$ ， $- 5$

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3. 方程 $2 (x + 3) (x - 4) = x^{2} - 10$ 的一般形式为（）

A、 $x^{2} - 2 x - 14 = 0$ B、 $x^{2} + 2 x + 14 = 0$ C、 $x^{2} + 2 x - 14 = 0$ D、 $x^{2} - 2 x + 14 = 0$

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4. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 有一个非零根 $- b$ ，则 $a - b$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $- 2$

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5. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0 .$ 下列变形正确的是（）

A、 $(x - 4)^{2} = 19$ B、 $(x - 2)^{2} = 7$ C、 $(x - 2)^{2} = 1$ D、 $(x + 2)^{2} = 7$

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6. 关于 $x$ 的方程 $(a - 3) x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的值范围是（）

A、 $a \geq - 1$ 且 $a \neq 3$ B、 $a > - 1$ 且 $a \neq 3$ C、 $a \geq - 1$ D、 $a > - 1$

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7. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 $7$ 天，每天安排 $4$ 场比赛，设比赛组织者应邀请 $x$ 个队参赛，则 $x$ 满足的关系式为（）

A、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 28$ B、 $x (x - 1) = 28$ C、 $x (x + 1) = 28$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 28$

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8. 三角形的一边长为 $10$ ，另两边长是方程 $x^{2} - 14 x + 48 = 0$ 的两个实数根，则这个三角形是（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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9. 若一元二次方程 $x^{2} - 2 x - m = 0$ 无实数根，则一次函数 $y = (m + 1) x + m - 1$ 的图象不经过第（）象限．

A、四 B、三 C、二 D、一

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10. 一个三角形的两边长分别为 $3$ 和 $6$ ，第三边的边长是方程 $(x - 2) (x - 4) = 0$ 的根，则这个三角形的周长是（）

A、 $11$ B、 $11$ 或 $13$ C、 $13$ D、以上选项都不正确

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11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2 x^{2} - (m + n) x + m n = 0$ ，其中 $m$ ， $n$ 在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、没有实数根 D、无法确定

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12. 对于两个不相等的实数 $a$ 、 $b$ ，我们规定符号 $m a x {a ， b}$ 表示 $a$ 、 $b$ 中较大的数，如： $m a x {- 1 ， 3) = 3 .$ 按照这个规定，方程 $m a x {2 x - 1 ， x} = x^{2}$ 的解为（）

A、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 1$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 0$
C、 $x = - 1$ D、 $x = 0$

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二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13. 已知 $x = 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - x + k = 0$ 的一个根，那么 $k =$ ．

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14. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 2) x^{2} - x + m^{2} - 4 = 0$ 一个根是 $0$ ，则另一个根是．

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15. 若方程 $k x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 有两个实数根，则 $k$ 的取值范围是．

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16. 已知 $(a^{2} + b^{2}) (a^{2} + b^{2} - 4) = 12$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

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17. 设 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的两个根，且 $x_{1} = 2 x_{2}$ ，则 $k =$ .

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 6 c m$ ， $A D$ 为 $B C$ 边上的高，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to D$ 方向以 $\sqrt{2} c m / s$ 的速度向点 $D$ 运动 $.$ 设 $△ A B P$ 的面积为 $S_{1}$ ，矩形 $P D F E$ 的面积为 $S_{2}$ ，运动时间为 $t s (0 < t < 3)$ ，则 $t =$ 时， $S_{1} = 2 S_{2}$ ．

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三、解答题（本大题共5小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 解方程：

(1)、 $2 x^{2} - 3 x - 3 = 0 ($ 配方法 $)$

(2)、 $x^{2} - 2 x = 2 x + 1$ ；

(3)、 $(y - 2) (y - 3) = 12$ ；

(4)、 $(x - 1)^{2} - 3 (x - 1) + 2 = 0$ ．

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20. 关于 $x$ 的方程 $m x^{2} + (m + 2) x + \frac{m}{4} = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围．

(2)、是否存在实数 $m$ ，使方程的两个实数根的倒数和等于 $0$ ？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，说明理由．

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21. 利用完全平方公式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ 和 $a^{2} - 2 a b + b =^{2} (a - b)^{2}$ 的特点可以解决很多数学问题 $.$ 下面给出两个例子：
例 $1$ 、分解因式： $x^{2} + 2 x - 3$
$x^{2} + 2 x - 3 = x^{2} + 2 x + 1 - 4 = (x + 1)^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$
例 $2$ 、求代数式 $2 x^{2} - 4 x - 6$ 的最小值：
$2 x^{2} - 4 x - 6 = 2 (x^{2} - 2 x) - 6 = 2 (x^{2} - 2 x + 1 - 1) - 6 = 2 [(x - 1)^{2} - 1] - 6 = 2 (x - 1)^{2} - 8$
又 $∵ 2 (x - 1)^{2} \geq 0$
$∴$ 当 $x = 1$ 时，代数式 $2 x^{2} - 4 x - 6$ 有最小值，最小值是 $- 8$ ．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：

(1)、分解因式： $m^{2} - 8 m + 12$ ；

(2)、代数式 $- x^{2} + 4 x - 2$ 有最 $($ 大、小 $)$ 值，当 $x =$ 时，最值是；

(3)、当 $x$ 、 $y$ 为何值时，多项式 $2 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + 25$ 有最小值？并求出这个最小值．

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22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为 $80$ 元，销售价为 $120$ 元时，每天可售出 $20$ 件 $.$ 为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润 $.$ 据测算，每件童装每降价 $2$ 元，平均每天可多售出 $4$ 件．

(1)、每件童装降价多少元时，平均每天盈利 $1200$ 元．

(2)、当童装销售价为多少元时，专卖店平均每天所获利润最大，最大为多少？

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23. 某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙 $($ 墙足够长 $)$ ，另外三边用总长 $69$ 米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为 $3$ 米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：

(1)、设 $A B = x$ 米 $(x > 0)$ ，试用含 $x$ 的代数式表示 $B C$ 的长；

(2)、请你判断谁的说法正确，为什么？

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