山东省济南市章丘区2023-2024学年九年级上学期数学第一次月考考试试卷

试卷更新日期：2023-10-26 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A、对角相等 B、对角线相等 C、对边相等 D、对角线互相平分

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2. 方程 $x (x - 2) = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = x_{2} = - 2$ B、 $x_{1} = 0 ， x_{2} = 2$ C、 $x_{1} = 0 ， x_{2} = - 2$ D、无实数根

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3.
如图，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于（　　）

A、50° B、80° C、65° D、115°

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4. 已知方程 $2 x^{2} - x - 1 = 0$ 的两根分别是 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的值等于（）

A、 $2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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5. 某公司今年 $10$ 月的营业额为 $2500$ 万元，按计划第四季度的总营业额要达到 $9100$ 万元，求该公司 $11$ ， $12$ 两个月营业额的月平均增长率．设该公司 $11$ ， $12$ 两个月营业额的月平均增长率为 $x$ ，则可列方程为（）

A、 $2500 (1 + x)^{2} = 9100$ B、 $2500 (1 + x) (1 + 2 x) = 9100$ C、 $2500 + 2500 (1 + x) + 2500 (1 + 2 x) = 9100$ D、 $2500 + 2500 (1 + x) + 2500 (1 + x)^{2} = 9100$

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6. 三角形的两边长分别为 $3$ 和 $6$ ，第三边长为方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ 的一个根，则这个三角形的周长为（）

A、 $11$ B、 $11$ 或 $14$ C、 $16$ D、 $14$

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7. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，菱形的边长为 $5$ ，对角线 $A C$ 的长为 $8$ ，延长 $A B$ 至 $E$ ， $B F$ 平分 $∠ C B E$ ，点 $G$ 是 $B F$ 上任意一点，则 $△ A C G$ 的面积为（）

A、 $20$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $12$ D、 $24$

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8. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别是边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、若四边形 $E F G H$ 是平行四边形，则 $A C$ 与 $B D$ 相等 B、若四边形 $E F G H$ 是正方形，则 $A C$ 与 $B D$ 互相垂直且相等 C、若 $A C = B D$ ，则四边形 $E F G H$ 是矩形 D、若 $A C ⊥ B D$ ，则四边形 $E F G H$ 是菱形

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9. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 无实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < 2$ B、 $a > 2$ C、 $a < - 2$ D、 $a < 2$ 且 $a \neq 1$

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10. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $C D$ 延长线上一点，且 $C D = D E$ ，连结 $B E$ ，分别交 $A C$ ， $A D$ 于点 $F$ 、 $G$ ，连结 $O G$ ，则下列结论：
$① O G = \frac{1}{2} A B$ ； $② S_{四边形 O D G F} > S_{△ A B F}$ ； $③$ 由点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 构成的四边形是菱形； $④ S_{△ A C D} = 4 S_{△ B O G} .$ 其中正确的结论是（）

A、 $① ②$ B、 $① ② ③$ C、 $① ③ ④$ D、 $② ③ ④$

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二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 已知 $x = 1$ 是方程 $x^{2} - a x + 7 = 0$ 的一个根，则 $a$ 的值是．

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12. 已知 $(m - 1) x^{m^{2} + 1} + 3 x - 1 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $m =$ ．

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13. 在数学活动课上，小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个如图 $1$ 的正方形，而后将正方形的 $B C$ 边固定，平推成图 $2$ 的图形，并测得 $∠ B = 60 °$ ，若图 $1$ 中的边长 $A B = 10$ ，则变形后图 $2$ 中图形的面积是．

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14. 九年级 $(5)$ 班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了 $132$ 本图书，则全组共有名同学．

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15. 正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 中，点 $D$ 在 $C G$ 上， $B C = 1$ ， $C E = 3$ ， $H$ 是 $A F$ 的中点，那么 $C H$ 的长是．

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16. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点 $P$ 为 $A B$ 边上任一点，过 $P$ 分别作 $P E ⊥ A C$ 于 $E$ ， $P F ⊥ B C$ 于 $F$ ，则线段 $E F$ 的最小值是．

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三、解答题

17. 某商城在 $2021$ 年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为 $2500$ 元，标价为 $3000$ ．

(1)、商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以 $2430$ 元售出，求每次降价的百分率；

(2)、市场调研表明：当每台售价为 $2900$ 元时，平均每天能售出 $8$ 台，当每台售价每降 $50$ 元时，平均每天就能多售出 $4$ 台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到 $5000$ 元，则每台冰箱的定价应为多少元？

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四、解答题（本大题共9小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x - 5 = 0$ ；

(2)、 $(x + 3)^{2} = 2 x + 6$ ．

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19. 已知 $x = - 1$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + c = 0$ 的一个根，求 $c$ 的值和方程的另一根．

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20. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点 $P$ 从点 $D$ 出发向点 $A$ 运动到点 $A$ 即停止；同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发向点 $C$ 运动到点 $C$ 即停止，点 $P$ 、 $Q$ 的速度都是 $1 c m / s$ ，连结 $P Q$ 、 $A Q$ 、 $C P$ ，设点 $P$ 、 $Q$ 运动的时间为ts．

(1)、当 $t$ 为何值时，四边形 $A B Q P$ 是矩形，请说明理由；

(2)、当 $t$ 为何值时，四边形 $A Q C P$ 是菱形，请说明理由．

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21. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 (m - 1) + m^{2} - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根x₁ ， x₂.

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、是否存在实数m，使得 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 16 + x_{1} x_{2}$ 成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $A B$ 上一点，点 $E$ 是 $A C$ 的中点，过点 $C$ 作 $C F / / A B .$ 交 $D E$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $A D = C F$ ；

(2)、连接 $A F$ ， $C D .$ 如果点 $D$ 是 $A B$ 的中点，那么当 $△ A B C$ 满足时，四边形 $A D C F$ 是菱形，请说明理由．

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23. 为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质 $.$ 某校为此规划出矩形苗圃 $A B C D .$ 苗圃的一面靠墙 $($ 墙最大可用长度为 $15$ 米 $)$ 另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留 $1$ 米宽的门 $($ 门不用木栏 $)$ ，修建所用木栏总长 $28$ 米，设矩形 $A B C D$ 的一边 $A B$ 长为 $x$ 米．

(1)、矩形 $A B C D$ 的另一边 $B C$ 长为米 $($ 用含 $x$ 的代数式表示 $)$ ；

(2)、矩形 $A B C D$ 的面积能否为 $72 m^{2}$ ，若能，请求出 $A B$ 的长；若不能，请说明理由．

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24. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，过点 $A$ 作 $B C$ 的垂线，垂足为点 $E$ ，延长 $B C$ 到点 $F$ ，使 $C F = B E$ ，连接 $D F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E F D$ 是矩形；

(2)、若 $A B = 13$ ， $A C = 10$ ，求 $A E$ 的长．

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25. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式 $x^{2} + b x + c$ 变形为 $(x + m)^{2} + n$ 的形式，然后由 $(x + m)^{2} \geq 0$ 就可求出多项式 $x^{2} + b x + c$ 的最小值．
例题：求 $x^{2} - 12 x + 37$ 的最小值．
解： $x^{2} - 12 x + 37 = x^{2} - 2 x \cdot 6 + 6^{2} - 6^{2} + 37 = (x - 6)^{2} + 1$ ．
因为不论 $x$ 取何值， $(x - 6)^{2}$ 总是非负数，即 $(x - 6)^{2} \geq 0$ ．
所以 $(x - 6)^{2} + 1 \geq 1$ ．
所以当 $x = 6$ 时， $x^{2} - 12 x + 37$ 有最小值，最小值是 $1$ ．
根据上述材料，解答下列问题：

(1)、填空： $x^{2} - 6 x +$ $= (x -$ $)^{2}$ ．

(2)、将 $x^{2} + 10 x - 2$ 变形为 $(x + m)^{2} + n$ 的形式，并求出 $x^{2} + 10 x - 2$ 的最小值．

(3)、如图所示的第一个长方形边长分别是 $2 a + 5$ 、 $3 a + 2$ ，面积为 $S_{1}$ ；如图所示的第二个长方形边长分别是 $5 a$ 、 $a + 5$ ，面积为 $S_{2} .$ 试比较 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小，并说明理由．

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26. 知四边形 $A B C D$ 和四边形 $A E F G$ 均为正方形，连接 $B E$ 、 $D G$ ，直线 $B E$ 与 $D G$ 交于点 $H$ ．

(1)、如图 $1$ ，当点 $E$ 在 $A D$ 上时，线段 $B E$ 和 $D G$ 的数量关系是， $∠ B H D$ 的度数为．

(2)、如图 $2$ ，将正方形 $A E F G$ 绕点 $A$ 旋转任意角度 $.$ 请你判断 $(1)$ 中的结论是否仍然成立，并说明理由．

(3)、若 $A B = \sqrt{5}$ ， $A E = 1$ ，则正方形 $A E F G$ 绕点 $A$ 旋转过程中，点 $F$ 、 $H$ 是否重合？若能，请直接写出此时线段 $B G$ 的长；若不能，说明理由．

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