山西省太原市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（10月）

试卷更新日期：2023-10-26 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑。）

1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A、 $x - 2 y = 1$ B、 $x^{2} + 3 = \frac{2}{x}$ C、 $x^{2} - 2 y + 4 = 0$ D、 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 8 x - 1 = 0$ 配方后可变形为（）

A、 ${(x + 4)}^{2} = 17$ B、 ${(x + 4)}^{2} = 15$ C、 ${(x - 4)}^{2} = 17$ D、 ${(x - 4)}^{2} = 15$

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3. 方程 $x^{2} = 5 x$ 的解是（）

A、 $x = 5$ B、 $x = 0$ C、 $x_{1} = - 5 ； x_{2} = 0$ D、 $x_{1} = 5 ； x_{2} = 0$

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4. 用求根公式解一元二次方程 $3 x^{2} - 2 = 4 x$ 时 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值是（）

A、 $a = 3$ ， $b = - 2$ ， $c = 4$ B、 $a = 3$ ， $b = - 4$ ， $c = 2$ C、 $a = 3$ ， $b = - 4$ ， $c = - 2$ D、 $a = 3$ ， $b = 4$ ， $c = - 2$

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D是AB的中点， $A B = 8$ ，则CD的长为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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6. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD ．测得A、B的距离为6，A、C的距离为4，则B、D的距离是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、8 C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{10}$

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7. 电影《满江红》于2023年1月22日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为（）

A、 $2 (1 + x) = 7$ B、 $2 (1 + x)^{2} = 7$ C、 $2 + 2 (1 + x)^{2} = 7$ D、 $2 + 2 (1 + x) + 2 (1 + x)^{2} = 7$

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8. 若关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 6 x + 9 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k < 1$ B、 $k \leq 1$ C、 $k < 1$ 且 $k \neq 0$ D、 $k \leq 1$ 且 $k \neq 0$

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9. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ .点 $D$ 是 $A B$ 边上的动点，过点 $D$ 作边 $A C$ ， $B C$ 的垂线，垂足分别为 $E$ ， $F$ .连接 $E F$ ，则 $E F$ 的最小值为（）

A、3 B、2.4 C、4 D、2.5

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10. 如图、正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点， $G E ⊥ C D$ 于点E ， $G F ⊥ B C$ 于点F ，连接EF ，给出四种情况：
①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；
②若G为BD上任意一点，则 $A G = E F$ ；
③点G在运动过程中， $G E + G F$ 的值为定值4；
④点G在运动过程中，线段EF的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ．
正确的有（）

A、①②③④ B、①②③ C、①②④ D、①③④

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二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分。）

11. 已知m是方程 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ 的一个根，则 $1 - m^{2} + 2 m$ 的值为．

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12. 如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形， $A C = 2$ ，则四边形ABCD的面积为．

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13. $x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 的两根分别为m、n ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ ．

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14. 如图，一张长 $12 c m$ 、宽 $10 c m$ 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是 $24 c m^{2}$ 的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为 $c m^{3}$ ．

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15. 秋天到了，人容易着凉，某班有一同学患了流感，经过两轮传染后共有49名学生患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则列方程为．

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三、解答题（本大题共8小题，75分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

16. 解下列方程

(1)、 $x^{2} - 6 x - 27 = 0$

(2)、 $(x - 2)^{2} - (2 x - 3)^{2} = 0$

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17. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E ， AE与CD交于点F ．

(1)、求证： $△ D A F ≌ △ E C F$ ；

(2)、若 $∠ F C E = 40 °$ ，求 $∠ C A B$ 的度数．

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18. 某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克为了获得6000元的利润，同时考虑顾客的利益，那么应该涨价多少元？

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19. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ，点E是AB的中点，连接OE ，过点B作 $B F ∥ A C$ 交OE的延长线于点F ，连接AF ．

(1)、求证：四边形AOBF为矩形；

(2)、若 $O E = 2 ， B D = 2 A C$ ，求菱形ABCD的面积．

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20. 【阅读材料】
若 $x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y + 25 = 0$ ，求x ， y的值．
解： $(x^{2} + 8 x + 16) + (y^{2} - 6 y + 9) = 0$ ， $(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 0$ ，
          $∴ x + 4 = 0 ， y - 3 = 0$ ，
          $∴ x = - 4 ， y = 3$ ．

(1)、【解决问题】
已知 $m^{2} + n^{2} - 12 n + 10 m + 61 = 0$ ，求 $(m + n)^{2023}$ 的值；

(2)、【拓展应用】
已知a ， b ， c是 $△ A B C$ 的三边长，且b ， c满足 $b^{2} + c^{2} = 8 b + 4 c - 20$ ， a是 $△ A B C$ 中最长的边，求a的取值范围．

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21.

(1)、课本情境
课本第40页第3题：如图1，已知矩形AOBC ， $A B = 6 c m ， B C = 16 c m$ ，动点P从点A出发，以 $3 c m / s$ 的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以 $2 c m / s$ 的速度向点B运动，与点P同时结束运动出发时，点P和点Q之间的距离是 $10 c m$ ；

(2)、逆向发散
当运动时间为 $2 s$ 时，P、Q两点的距离为 $c m$ ；当运动时间为 $4 s$ 时，P、Q两点的距离为 $c m$ ；

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22. 小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发他的思考，这个定理的逆命题成立吗？猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”、通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程：

已知：如图1．在 $△ A B C$ 中，D是AB边的中点，连接CD ，且 $C D = \frac{1}{2} A B$ ．

求证： $△ A B C$ 为直角三角形．

证明：由条件可知． $A D = B D = C D$ ，则 $∠ A = ∠ D C A ， ∠ B = ∠ D C B$ ．

又 $∵ ∠ A + ∠ D C A + ∠ B + ∠ D C B = 180 °$ ．

$∴ ∠ D C A + ∠ D C B = ∠ A C B = 90 °$ ．即 $△ A B C$ 为直角三角形．

爱动脑筋的小明发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了图2，图3两种不同的证明思路，请你选择其中一种，把证明过程补充完整：

证法一：如图2，延长CD至点E ，使 $D E = C D$ ，连接AE ， BE ．

证法二：如图3，分别取AC ， BC边的中点E ， F ，连接DE ， DF ， EF ，

则DE ， DF ， EF为 $△ A B C$ 的中位线

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23. 探究问题：

(1)、方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E ， F分别为DC ， BC边上的点，且满足 $∠ E A F = 45 °$ ，连接EF ，求证 $D E + B F = E F$ ．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B G$ ，此时AB与AD重合，由旋转可得：
      $A B = A D ， B G = D E ， ∠ 1 = ∠ 2 ， ∠ A B G = ∠ D = 90 °$ ，
      $∴ ∠ A B G + ∠ A B F = 90 ° + 90 ° = 180 °$ ，
因此，点G ， B ， F在同一条直线上．
      $∵ ∠ E A F = 45 °$
      $∴ ∠ 2 + ∠ 3 = ∠ B A D - ∠ E M F = 90 ° - 45 ° - 45 °$ ．
      $∵ ∠ 1 = ∠ 2$ ，
      $∴ ∠ 1 + ∠ 3 = 45 °$ ．
即 $∠ G A F = ∠$      ▲     ．
又 $A G = A E ， A F = A F$
      $∴ △ G A F ≌$      ▲  ．
      $∴$      ▲   $= E F$ ，故 $D E + B F = E F$ ．

(2)、方法迁移
如图②，将 $R t △ A B C$ 沿斜边翻折得到 $△ A D C$ ，点E ， F分别为DC ， BC边上的点，且 $∠ E A F = ∠ \frac{1}{2} D A B$ ．试猜想DE ， BF ， EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

(3)、问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中， $A B = A D$ ， E ， F分别为DC ， BC上的点，满足 $∠ E A F = ∠ \frac{1}{2} D A B$ ，试猜想当 $∠ B$ 与 $∠ D$ 满足什么关系时，可使得 $D E + B F = E F$ ，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

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