四川省成都市四川大学附中新城分校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

试卷更新日期：2023-10-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列图形是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列方程中，是关于 $x$ 的一元二次方程的是（）

A、 $x + \frac{2}{x} = 1$ B、 $x (x + 3) = 5$ C、 $x^{3} + 2 x = 0$ D、 $2 x^{2} + x y - 3 = 0$

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3. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 时，原方程应变形为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 6$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 9$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 6$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 9$

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4. 一元二次方程 $x^{2} + 6 x + 10 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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5. 如图，把一个长方形纸片沿 $E F$ 折叠后，点 $D$ 、 $C$ 分别落在 $D'$ 、 $C'$ 的位置，若 $∠ E F B = 65 °$ ，则 $∠ A E D'$ 等于（）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $60 °$ D、 $65 °$

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6. 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.

A、①③ B、②③ C、③④ D、①②③

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7. 如图，在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ ， $C D$ 的中点，连接 $O E$ 、 $O F$ ，若 $O E = 2$ ， $O F = 3$ ，则▱ $A B C D$ 的周长为（）

A、 $10$ B、 $14$ C、 $16$ D、 $20$

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8. 如图，已知 $▱ A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，以点 $B$ 为中心，取旋转角等于 $∠ A B C$ ，把 $△ B A E$ 顺时针旋转，得到 $△ B A' E'$ ，连接 $D A' .$ 若 $∠ A D C = 60 °$ ， $∠ A D A' = 50 °$ ，则 $∠ D A' E'$ 的大小为（）

A、 $130 °$ B、 $150 °$ C、 $160 °$ D、 $170 °$

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二、填空题

9. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是．

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10. 一元二次方程 $x^{2} - 6 x - 6 = 0$ 配方后化为 $(x - 3)^{2} =$ ．

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11. 已知菱形的周长等于 $8 c m$ ，一条对角线长为 $2 c m$ ，则此菱形的面积为．

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12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E ，分别以点C ， E为圆心，大于 $\frac{1}{2} C E$ 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP交AD的延长线于点F ， ∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为

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13. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $3$ ， $E$ 为 $C D$ 边上一点， $D E = 1 .$ 以点 $A$ 为中心，把 $△ A D E$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得 $△ A B E'$ ，连接 $E E'$ ，则 $E E'$ 的长等于．

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三、解答题

14. 用适当的方法解方程：

(1)、 $3 x^{2} + 1 = 4 x$ ；

(2)、 $2 (x + 1)^{2} = 18$ ．

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15. 若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x - 3 m = 0$ 的两个根，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 7 .$ 求 $m$ 的值．

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16. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解 $.$ 下面共有三种卡片： $A$ 型卡片是边长为 $x$ 的正方形； $B$ 型卡片是长为 $y$ ，宽为 $x$ 的长方形； $C$ 型卡片是边长为 $y$ 的正方形．

(1)、用 $1$ 张 $A$ 型卡片， $2$ 张 $B$ 型卡片拼成如图 $1$ 的图形，根据图 $1$ ，多项式 $x^{2} + 2 x y$ 因式分解的结果为；

(2)、请用 $1$ 张 $A$ 型卡片， $2$ 张 $B$ 型卡片， $1$ 张 $C$ 型卡片拼成一个大正方形，在图 $2$ 的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解．

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17. 如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $A C$ 上，且 $A F = C E$ ，连接 $B E$ ， $D E$ ， $B F$ ， $D F$ ．

(1)、求证：四边形 $B E D F$ 是平行四边形；

(2)、若 $∠ B A C = 80 °$ ， $A B = A F$ ， $D C = D F$ ，求 $∠ E B F$ 的度数．

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18. 如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 120 °$ ，点 $D$ 是边 $A B$ 上一动点，将线段 $C D$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $120 °$ 得到 $C E$ ，连接 $B E$ ．

(1)、求 $∠ C B E$ 的度数；

(2)、连接 $A E$ ，若 $A D = 4$ ， $∠ A C D = 30 °$ ，求线段 $A E$ 的长；

(3)、如图 $2$ ，若 $A D = A C$ ， $B D = 2$ ，点 $M$ 为 $C D$ 中点， $A M$ 的延长线与 $B C$ 交于点 $P$ ，与 $B E$ 交于点 $N$ ，求线段 $B N$ 的长．

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四、填空题

19. 已知： $a - b = 2$ ，则 $a^{2} - b^{2} - 4 b - 1 =$ ．

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20. 如图所示，点 $D$ 为等边三角形 $A B C$ 内的一点， $B D = A D$ ， $B E = A B$ ， $∠ D B E = ∠ D B C$ ，则 $∠ B E D$ 的度数是度．

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21. 如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是．

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22.
如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为

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23. 在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为．

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五、解答题

24. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．

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25. 已知，矩形 $A B C D$ 中．

(1)、如图 $1$ ，分别沿 $A F$ 、 $C E$ 将 $A C$ 两侧纸片折叠，使点 $B$ 、 $D$ 分别落在 $A C$ 上的 $G$ 、 $H$ 处，则四边形 $A F C E$ 为形；

(2)、如图 $2$ ，在矩形 $A B C D$ 中， $△ A B F$ ≌ $△ C D E$ ， $A B = 4 c m$ ， $B C = 8 c m$ ， $B F = 3 c m$ ，动点 $P$ 、 $Q$ 分别从 $A$ 、 $C$ 两点同时出发，点 $P$ 自 $A \to F \to B \to A$ 停止，点 $Q$ 自 $C \to D \to E \to C$ 停止．
$①$ 若点 $P$ 的速度为每秒 $5 c m$ ，点 $Q$ 的速度为每秒 $4 c m$ ，设运动时间为 $t$ 秒．当点 $P$ 在 $F B$ 上运动，而点 $Q$ 在 $D E$ 上运动时，若四边形 $A P C Q$ 是平行四边形，求此时 $t$ 的值．
$②$ 若点 $P$ 、 $Q$ 的运动路程分别为 $a$ 、 $b ($ 单位： $c m$ ， $a b \neq 0)$ ，若四边形 $A P C Q$ 是平行四边形，求 $a$ 与 $b$ 满足的数量关系式．

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26. 如图 $1$ ，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，过点 $C (2 ， 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，与直线 $A B$ 交于点 $D$ ．

(1)、求点 $D$ 的坐标；

(2)、点 $E$ 是线段 $C D$ 上一动点，直线 $B E$ 与 $x$ 轴交于点 $F$ ．
$ⅰ)$ 若 $△ B D F$ 的面积为 $8$ ，求点 $F$ 的坐标；
$ⅱ)$ 如图 $2$ ，当点 $F$ 在 $x$ 轴正半轴上时，将直线 $B F$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $45 °$ 后的直线与线段 $C D$ 交于点 $M$ ，连接 $F M$ ，若 $O F = M F + 1$ ，求线段 $M F$ 的长．

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