北师大版数学八年级（上）复习微专题精炼5 二次根式（1）

试卷更新日期：2023-10-25 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 在式子 $\sqrt{4}$ ， $\sqrt{0.5}$ ， $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ ， $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 中，最简二次根式的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 下列运算错误的是（　　）

A、 $\sqrt{- 4} = - 2$ B、 $\sqrt{16} = 4$ C、 $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ D、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = 3$

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3. 下列等式成立的是（）

A、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$ B、 $\pm \sqrt{0.16} = \pm 0.4$ C、 $\sqrt{{(- 6)}^{2}} = - 6$ D、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

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4. 化简 $\sqrt{{(- 3)}^{2}}$ 的结果是（　　）

A、3 B、±3 C、9 D、±9

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5. 已知a= $\sqrt{2}$ -1，b= $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ，则a与b的关系（　　）

A、a=b B、ab=1 C、a=-b D、ab=-1

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6. 式子 $\sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A、x＜2 B、x≥2 C、x=2 D、x＜-2

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7. 若 $y - \sqrt{x - 2022} = \sqrt{2022 - x} - 2023$ ，则 $(x + y)^{2023}$ 的结果是（）

A、 $1$ B、 $0$ C、 $- 1$ D、 $2023$

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8. $\sqrt{m - n}$ 的一个有理化因式是（）

A、 $\sqrt{m + n}$ B、 $\sqrt{m - n}$ C、 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ D、 $\sqrt{m} - \sqrt{n}$

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9. 已知n是一个正整数，且 $\sqrt{24 n}$ 是整数，那么n的最小值是（）

A、6 B、36 C、3 D、2

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10. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，设x= $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ > $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，故x>0，由x²= ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$ = $3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$ =2，解得x= $\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ 。根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt{6 - 3 \sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}$ 后的结果为（）

A、5+3 $\sqrt{6}$ B、5+ $\sqrt{6}$ C、5- $\sqrt{6}$ D、5-3 $\sqrt{6}$

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二、填空题

11. 已知x＝ $\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，则 $x - \frac{1}{x}$ 的值等于．

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12. 计算 $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^{2}} + \sqrt{18}$ 的值是．

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13. 若 $\frac{\sqrt{x^{2}}}{x} = 1$ ，请写出一个符合条件的 $x$ 的值．

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14. 已知m为正整数，若 $\sqrt{189 m}$ 是整数，则根据 $\sqrt{189 m} = \sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 7 m} = 3 \sqrt{3 \times 7 m}$ 可知m有最小值 $3 \times 7 = 21$ ．设n为正整数，若 $\sqrt{\frac{200}{n}}$ 是大于1的整数，则n的最小值为．

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15. 若两个代数式 $M$ 与 $N$ 满足 $M \cdot N = - 1$ ，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则 $\sqrt{3} - \sqrt{5}$ 的“互为友好因式”是．

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三、解答题

16. 已知x，y为实数，且 $y = \sqrt{x - 27} - 2 \sqrt{27 - x} + \frac{1}{3}$ ，求 $x y$ 的平方根。

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17. 先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号.

例如： $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{3 + 2 \times 1 \times \sqrt{2}} = \sqrt{1^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

$= \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = | 1 + \sqrt{2} | = 1 + \sqrt{2}$ .

解决问题：化简下列各式

(1)、 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ ；

(2)、 $\sqrt{9 - 4 \sqrt{5}}$ .

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18. 我们知道， $（ \sqrt{3} ）^{2} = 3$ ， $(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}) = 3^{2} - {(\sqrt{5})}^{2} = 4$ ， …如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式.如 $3 + \sqrt{5}$ 与 $3 - \sqrt{5}$ 互为有理化因式.利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，例如： $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1} = 2 + \sqrt{3}$ .

(1)、 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 分母有理化的结果是；

(2)、 $\frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{10}}$ 分母有理化的结果是；

(3)、 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}$ 分母有理化的结果是；

(4)、利用以上知识计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2023}}$ .

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